Откуда появляется относительность?

С теорией относительности связано много недопониманий и казусов, ведь эта теория в корне противоречит нашему повседневному опыту. И не мудрено, мы никогда не двигались с скоростями, близкими к скорости света, и не испытывали на себе гравитационное поле чёрных дыр, поэтому понятна непрязнь к этой теории. Но ведь квантовая механика ещё больше противоречит нашему опыту: там и туннелирование есть, и аннигиляция, и электроны с отрицательной энергией, и движение в прошлое (диаграммы Фейнмана можно рассматривать во всех направлениях, но с учётом того, что «движущийся назад во времени» электрон — это позитрон), и даже телепортация! На мой взгляд это связано с очень серьёзной математической сложностью квантовой теории и большим количеством экспериментальных результатов в пользу этой теории (по сути она и возникла из описания эксперимента). Давайте сегодня посмотрим, каким образом появляется теория относительности исходя из самых очевидных предположений о преобразовании координат.

Давайте рассмотрим 2 системы отсчёта, одна из которых покоится (K), другая из которых движется со скоростью V вдоль оси Ох (K'):

Давайте также синхронизируем в этих системах время. Сделать это можно вот как: в то время, когда точки О и O' совпадут, мы в обеих системах обнуляем время: t(O)=t'(O')=0. Пусть в системе K происходит некоторое событие (например вы читаете эти строки). Тогда в системе отсчёта К оно будет представляться точкой M(t,x,y,z). Нам хотелось бы сейчас получить преобразование, которое позволит узнать время и координаты этого события в системе K', т.е. найти точку M(t',x',y',z'). Давайте считать, что у нас нет пока никаких оснований полагать, что время в обеих системах одинаково. Если это верно, то мы обязаны к этому прийти.

Из повседневного опыта очевидна одна вещь: физика одна и та же во всём пространстве. Это называют однородностью пространства. Из-за однородности пространства следует тот факт, что соотношение между K и K' должны быть линейными. Можно представить третью систему, движущуюся ещё быстрее, чем K'. Тогда можно считать, что K' покоится, а K'' движется. Переход от K к K' и от K' к K'' должен быть равен непосредственно переходу от K к K'', а это будет правдой только если соотношения линейны.

Мы можем посчитать координату точки O' в системе K. Т.к. K' движется с постоянной скоростью V, то x(O')=Vt или x(O')-Vt=0. Координата точки O' в системе K' постоянна и всегда равна 0: x'(O')=0. Эти точки должны быть связаны линейной связью, поэтому ничего не остаётся, как написать:

Где α — это некоторый коэффициент. Полезно подумать, от чего может зависеть этот коэффициент. Ну во-первых он однозначно не должен зависеть от координат, т.к. пространство однородно. Также он не может зависеть от времени, ведь физика в разные моменты времени тоже не должна быть различной (однородность времени). Остаётся единственный вариант: α может зависеть только от скорости. По тем же рассуждениям можем записать соотношения для y' и z'. Т.к. K' движется только вдоль оси Ох, в различные моменты времени y' и z' должны совпадать с y и z соответственно, поэтому единственное линейное соотношение, какое можно тут написать — это y'=βy и z'=βz, где k также может зависеть только от скорости.

Со временем чуть хитрее. Т.к. мы проводили синхронизацию времени при движении вдоль оси Ох, то, вообще говоря, нет ни одной причины полагать, что t не зависит от х. Можно, конечно, сослаться на повседневный опыт, но, опять же, нет ни одной причины доверять нашему опыту. Давайте тогда проявим некоторую осторожность и напишем: t'=γt+δx. Если наш опыт будет верен, то в конце окажется, что δ=0, но пока что мы этого не знаем. Итак, мы получили линейные соотношения вида:

Это самые общие преобразования координат, какие только можно написать в данном случае. Теперь надо аккуратно понять, чему же равны все эти коэффициенты. Оказывается, что можно сильно уточнить эти коэффициенты, если учесть, что преобразования координат представляют собой группу.

Стоит отметить, что результатом произведения элементов групп обязан быть элемент, принадлежащий тому же множеству (это условие называется замкнутостью), иначе это множество не будет являться группой. Единичный элемент — это такой элемент, умножение на которое ничего не меняет, т.е. получается тот же самый элемент. Обратный — это такой, умножение на которое даёт единичный элемент. Самый простой пример группы — это рациональные числа. Действительно, произведение двух рациональных чисел — рациональное число, для рационального числа a можно определить элемент (1/а) такой, что a*(1/a)=1 (обратный элемент), а a*1=a (единичный элемент — это просто единица).

Почему же преобразования образуют группу? Ну это понять легко. Мы можем перейти от одной системы к другой, а затем из неё к третьей и результатом этого будет являться переход от первой к третьей (R12*R23=R13), можно от одной перейти к другой, а затем снова перейти к третьей. Это то же самое, что ничего не делать (R12*R21=1), роль единичного элемента — это переход системы саму в себя (R11=1).

Каким же образом это поможет нам узнать коэффициенты? Да очень просто. Давайте представим, что K' покоится. Тогда K должна двигаться со скоростью -V (т.е. в другую сторону). И тогда переход от K' к K должен иметь в точности такой же вид с учётом того, что теперь V меняется на -V:

Так, ну а что ещё можно сделать? Можно, например, поменять оси у этих координат. Пусть K(~) будет отличаться от K только тем, что в ней ось Ох направлена в другую сторону. Так же и K'(~):

Тогда можно записать преобразования для координат с тильдой. Они будут отличаться, опять же, только знаком скорости:

Теперь мы вспомним, что тильдованые координаты — это минус не тильдованые (за исключением y и z, это вообще одно и то же), поэтому:

Что же из этого можем получить? Сравнивая игреки и зеты можно увидеть, что β(V)=β(-V), и это уже хорошо. Мы получили, что β — это чётная функция, что существенно сокращает возможные значения. Поменяв знак у x' и сравнив с x получим:

Значит α(V)=α(-V) — и это тоже чётная функция! Также сравнивая t' получаем γ(V)=γ(-V) и δ(-V)=-δ(V). Т.е. γ — чётная, а δ — нечётная функция. С учётом этого запишем обратное преобразование:

Теперь можно разобраться с β. Можно из прямого преобразования выразить y, тогда y=y'/β. Подставим y из обратного преобразования: βy'=y'/β или β²=1, откуда β=1 (-1 быть не может, т.к. y и y' сонаправлены).

Таким же методом можно воспользоваться и для x и t. Давайте решим систему относительно x и t:

И это должно быть равно:

Дабы у нас тут выделилось (x'+Vt') требуется положить α=γ, Тогда

Воспользуемся тем, что δ — нечётная функция, а значит и δ/γ — тоже нечётная. Всякую нечётную функцию можно представит как как чётную, умноженную на свой аргумент, поэтому можно записать: δ/γ=-Vf(V²). Знак «-» мы поставили только из соображений удобства. Мы потом придём к тому, что он окажется верным. Тогда можно записать:

Откуда немедленно находим:

Или же

В общем-то коли проделать ту же процедуру для t, мы придём к тому же самому, поэтому это мы опустим.

Так, ну уже почти хорошо. Осталось понять, чему же равна функция f. Давайте рассмотрим 3 системы отсчёта:

Давайте напишем преобразования от K к K'' через K':

Но с другой стороны можно напрямую перейти от K к К'':

Тут V3 — это скорость относительно K, а V2 — скорость, относительно V1. Перемножением матриц получаем:

Мы получаем интересную вещь. В результирующей матрице преобразований диагональные элементы одинаковы. В перемноженной матрице они будут одинаковы, только если f2=f1, а значит функция f — это константа! Мы получаем тогда преобразования вида:

Таким образом мы получили линейные преобразования, в которых неопределена лишь константа f. Чему она равна — это вопрос эксперимента. Ясно из соображений размерности, что она должна измеряться в c²/м², т.е. в единицах, обратных квадрату скорости. Эксперименты показывают, что это чрезвычайно малая величина и для большинства опытов можно сказать, что она равна 0. Тогда мы получаем знакомые нам преобразования Галилея:

Но более точные расчёты показывают, что она хоть и мала, но не до конца равна 0. Детальный анализ этой константы показывает, что f=1/c², где c — это скорость света. То, что скорость света — это конечная величина, напрямую вытекает из уравнений Максвелла. Дело в том, что из этих уравнений можно сконструировать уравнение д'Аламбера, решениями которых являются волновые функции — электромагнитная волна:

Если мы отождествляем волновое решение со светом, логично сопоставить величину c=1/√ε0μ0≈3*10^8 м/с со скоростью света в вакууме. Детальные эксперименты по измерению скорости света в быстро движущихся телах (сегодня достигнуты скорости порядка десятков километров в секунду) не обнаруживают никакого изменения скорости света, а значит с большой степенью точности можно утверждать, что она постоянная для всех инерциальных систем. Конечно, пока мы не достигали скоростей в несколько сотен километров в секунду, поэтому, если совсем уж точно, это утверждение напрямую справедливо лишь до скоростей в десяток километров в секунду, но многие косвенные эксперименты недвусмысленно намекают на то, что это справедливо и для больших скоростей. Таким образом очевидно, что единственной константой, подходящей на роль f — это 1/c². Тогда мы получим преобразования Лоренца:

Так из математики и рождается относительность) А на сегодня пока всё, всем удачки)