Закон сохранения заряда и тока

Мы с вами закончили рассмотрение классических незаряженных релятивистских струн и, наконец, можем двигаться дальше. Печально осознавать, но дальше начнётся реальная физика с неимоверно зубодробительной математикой — хардкор для любителей мазохизма. Тех людей, кто случайно сюда попал или специально искал хоть какие-то крохи теории, я приветствую, и начнём мы с разговора о зарядах.

Почему заряд сохраняется?

Законы электричества формулируются на основе уравнений Максвелла. Теорию струн в принципе не надо изучать без мощного бэкграунда физики, поэтому далее я буду предполагать, что вам известна теория электричества, теория относительности, матан, теория поля и квантовая механика.

Уравнения Максвелла оперирует понятием «электромагнитного поля» — всеобъемлющей сущности, заполняющей наше пространство и способное влиять на многие вещи. Вам известны два проявления этого поля — электростатические силы, проявляющиеся во взаимном притяжении и во взаимном отталкивании заряженных частиц, и магнитные силы, проявляющиеся в притяжении магнитов и в трансформаторах. Уравнения Максвелла устанавливают связь между этими проявлениями, говоря, что электрические силы могут порождать магнитные, а магнитные — электрические. Так мы можем получить динамо-машину, генерирующую электричество за счёт вращения контура в магнитном поле, или электромагнит, пропуская заряды через катушку.

Уравнения Максвелла удовлетворяют прекрасной вещи — закону сохранения заряда. В одной из статей по электромагнетизму мы это показывали. Его можно записать в таком виде:

Его можно переписать в 4-мерном виде, введя 4-плотность тока и 4-мерный оператор дифференцирования по координатам:

В этом случае ЗСЗ можно записать совсем уж просто:

Вектор, удовлетворяющий такому уравнению, мы будем называть сохраняющимся током.

Давайте посмотрим, как из сохраняющегося тока получается сохранение заряда. Заряд можно представить как объёмный интеграл от плотности заряда:

Найдём производную по времени:

Что же нам говорит ЗСЗ? Он говорит, что производную по времени можно заменить на минус производную по координатам (пространственным):

Мы можем воспользоваться теоремой Гаусса и перейти от интеграла по объёму к интегралу по поверхности. Пусть на объём V натянута некоторая поверхность S, тогда:

Заряд, заключённый в объём V может изменяться только за счёт того, что через поверхность, натянутую на объём, протекает некоторый ток. Часто приходится выбирать V таким большим, что ток на поверхности объёма будет обращаться в ноль, поэтому для этих случаев:

Тогда заряд, помещённый в замкнутую систему, будет сохраняться. Интересно то, что заряд является лоренц-инвариантной величиной. Любой наблюдатель, в какой бы системе он не находился, получит одно и то же значение заряда. Примечательно это тем, что далеко не все сохраняющиеся величины лоренц-инвариантны. Энергия, например, хоть и сохраняется, но зависит от системы отсчёта.

Вывод ЗСЗ из симметрий лагранжиана

В механике все три интеграла движения (ЗСЭ, ЗСИ и ЗСМИ) можно вывести из симметрии лагранжиана относительно преобразований во времени (однородность времени), преобразований пространства (однородность пространства) и преобразований направления (изотропность пространства). Вообще существует теорема Нётер, гласящая, что каждой симметрии соответствует закон сохранения. ЗСЗ — не исключение и он соответствует калибровочной инвариантности. Непосредственно из самой калибровочной инвариантности ЗСЗ довольно трудно вывести, но можно облегчить путь, воспользовавшись лагранжианом. Пусть мы имеем лагранжиан L(q(t), v(t), t), который явно зависит от координаты, скорости и, возможно, даже от времени. Также давайте рассмотрим вариацию координаты:

Величина δq(t) называется вариацией. Если q(t) — это путь частицы, то δq(t) — это инструкция о том, как меняется этот путь в зависимости от времени. Важно, чтобы этот путь менялся не сильно. Самый простой способ построить такую вариацию — это взять известное правило и домножить его на очень маленькую величину (в идеале бесконечно малую)

Где h(q(t),t) — это известное нам правило, а ε — бесконечно малая величина.

Собственно в результате изменения пути возникнет и изменение в скорости:

Понятно, что любая вариация координаты приводит и к неизбежной вариации скорости, поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о вариации координаты, подразумевая и соответствующую вариацию скорости. Если δq(t) очень мала, то при вариации лагранжиана останутся только линейные по δq слагаемые. Если и эти слагаемые обращаются в ноль, то говорят о симметрии лагранжиана, а о соответствующих преобразованиях как о преобразованиях симметрии.

Сформулируем утверждение:

Причём Q определяется выражением:

О всякой сохраняющейся величине в механике принято говорить как об интеграле движения.

Теперь приступим к доказательству этого утверждения. Для этого воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа:

Если мы проварьируем лагранжиан, то получим:

Подставим сюда ∂L/∂q из уравнения Эйлера-Лагранжа:

Если лагранжиан зависит только от скорости (из-за однородности пространства), то единственная вариация координаты, которая оставит лагранжиан нетронутым — это δq = ε. В этом случае:

В нашем случае «заряд» — это импульс. Таким образом, законы сохранения могут возникать из лагранжиана. Тут мы лишь привели пример, да и то половину опустили, приняли на веру или просто взяли с потолка) Более подробно об этом можно узнать в первом томе Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Механика»

Более трудный для анализа пример — это симметрия плотности лагранжиана. Если симметрии лагранжиана соответствуют законом сохранения «зарядов», то симметрии плотности лагранжиана — законам сохранения «токов». Зададим действие поля как интеграл по координатам от плотности лагранжиана полей таким же образом, как мы задавали обычное действие:

Тут применено стандартное обозначение производной по координатам в теории относительности:

Что ж, давайте варьировать поля:

Вариацию зададим также, как и для лагранжиана:

Каждый индекс тут возник не просто так. Например индекс i у ε возник из-за того, что вариация будет зависеть от нескольких параметров. Пространственно-временная трансляция будет включать в себя столько преобразований, сколько размерностей у пространства и для каждого измерения своя вариация. Например по оси абсцисс можно поле поменять по одному правилу, а по ординат по другому, поэтому индексом i мы учли этот момент.

Тут вообще всё запутанно с индексами и вообще-то их надо различать.

Индексом a мы будем обозначать поля, входящие в лагранжиан
Индексом α мы обозначаем координаты на мировом листе или компоненты векторов.
Индексом i будем помечать параметры в преобразованиях симметрии

Ток при этом определяется как:

Оу, май, ну это какой-то пипец… Но зато это позволит наглядно представить индексы i и α. Индекс i помечает различные токи, в то время как α — компоненты каждого из этих токов. По поверхности течёт i токов, у каждого из которых α координат.

Сохраняющиеся токи порождают сохраняющиеся заряды, причём каждый заряд определяется интегралом по всем координатам от этого тока:

Также как и для лагранжиана нам надо записать уравнение Эйлера-Лагранжа вместе с вариацией в данном случае плотности лагранжиана:

Исключим производную плотности лагранжиана по полю:

Отсюда видно, что токи, определённые выше — сохраняются. По аналогии можно сказать, что в данном случае мы имеем дело с током импульса.

Как мы ловко перешли от понятий заряда и тока к понятиям «заряда» и «тока») На самом деле, между привычными нами зарядами и токами и тем, что мы рассмотрели в этом разделе существует связь. Всякий ток порождается полем, которое есть следствие возникновения зарядов. Говоря об импульсе как о заряде мы подразумеваем, что возникает некоторое поле — поле скоростей, и в этом поле существует ток импульса. Сложно себе представить ток импульса, но можно сказать, что ток импульса — это множество частиц с каким-то импульсом, протекающие через площадь S. Более наглядно нам представляется это именно для электричества, ведь про него мы говорили ещё со школы: заряд — это заряд, а ток — это движение заряда. Но и тут заряды порождают электромагнитное поле, которое порождает токи. Хотя может быть и поле порождает заряды… Кто знает?… Главное, что полей много, а значит и токов много и все они похожи. Ну, а на этом всё, удачки).