48 часов до выстрела: история жизни и открытия Эвариста Галуа

31 мая 1832 г. в парижском госпитале Кошен скончался 20-летний Эварист Галуа. Накануне дуэли он лихорадочно переписал своё «письмо-завещание», где впервые связал решаемость полиномиального уравнения с группой перестановок его корней. Ночь перед смертью стала точкой отсчёта теории групп — языка всей современной алгебры.

Эварист Галуа учился в лицее Людовика Великого, где его блестящий ум быстро заметили учителя. Однако его интересы не ограничивались учёбой: вместе с друзьями по республиканским кружкам он обсуждал философию, политику и общественные вопросы. За это он неоднократно попадал под наблюдение полиции.

В феврале 1830 года Галуа представил своё первое математическое исследование «Mémoire» в Академию наук. Через год он безуспешно пытался поступить в École Polytechnique, но это не остановило его. Он продолжал развивать свои идеи, обмениваясь письмами с Огюстом Шевалье и другими единомышленниками.

Дуэль с Перше Кюз д’Эрбиньевилем, роялистом, произошла по причинам, которые до сих пор остаются неясными. Наиболее достоверные источники указывают на романтический конфликт с участием Стефани-Фелиси Потрен дю Мотель, дочери врача приюта, где Галуа жил в последние месяцы. В письме к двоюродному брату математик жаловался на «жертву бесчестной кокетки и двух её жуликов».

Дуэль состоялась ранним утром 30 мая. Галуа был смертельно ранен, пуля пробила ему желудок. За две ночи, проведённые в ожидании смерти, он систематизировал свои рукописи и отправил их Огюсту Шевалье. В одном из писем он ввёл термин «группа Галуа» и доказал, что если группа перестановок корней многочлена имеет цепь нормальных подгрупп с циклическими факторами, то уравнение можно решить с помощью радикалов. Это условие, известное как «разрешимость группы Галуа», стало фундаментальным в современной алгебре.

31 мая, в 10:00, Галуа скончался, произнеся своему брату: «Не плачь, мне нужно всё мужество, чтобы умереть в двадцать лет». Его похороны, состоявшиеся 2 июня, превратились в республиканскую демонстрацию.

Рукописи пролежали четырнадцать лет, пока Жозеф Лиувилль не опубликовал их в Journal de Mathématiques (1846). Сразу стало ясно, что ночные заметки юноши решают вековую проблему «пятой степени» и открывают новую дисциплину — теорию Галуа, связывающую поля, перестановочные группы и симметрии алгебраических уравнений. Сегодня понятия «группа Галуа» и «расширение поля» лежат в основе криптографии, физики частиц и алгебраической геометрии.

Что он написал в предсмертном письме?

«…Затем мы покажем, что всегда можем преобразовать данный интеграл в другой, в котором один период первого делится на простое число p, а остальные 2n-1 остаются неизменными.

Осталось сравнить интегралы, у которых периоды одинаковы с обеих сторон, а значит, такие, что n членов одного из них могут быть выражены через члены другого без всяких уравнений, кроме одного степени n, и наоборот. Здесь мы ничего не знаем.

Вы знаете, мой дорогой Огюст, что это не единственные темы, которые я исследовал. В течение некоторого времени мои основные размышления были направлены на применение теории неоднозначности к трансцендентальному анализу. Речь шла о том, чтобы априори увидеть в отношении между трансцендентальными величинами или функциями, какие обмены могут быть произведены, какие величины могут быть заменены на данные величины без того, чтобы отношение перестало существовать. Это сразу же заставляет нас признать невозможность многих выражений, которые мы могли бы попытаться найти. Но у меня нет времени, и мои идеи еще недостаточно развиты в этой огромной области.

Это письмо будет напечатано в «Revue encyclopédique».
В своей жизни я часто осмеливался выдвигать предложения, в которых не был уверен. Но все, что я здесь написал, я обдумывал почти год, и я слишком заинтересован в том, чтобы не ошибиться, чтобы кто-то мог заподозрить меня в изложении теорем, для которых у меня нет полной демонстрации. Вы публично попросите Якоби или Гаусса высказать свое мнение, но не об истинности, а о важности теорем. После этого, я надеюсь, найдутся люди, которые сочтут выгодным расшифровать всю эту кашу.

Шлю вам свои наилучшие пожелания. Э. Галуа 29 мая 1832 года.»

Группа Галуа — это «команда симметрий» корней уравнения.

Представьте, что ваши коэффициенты живут в привычном мире рациональных чисел Q. Чтобы увидеть все корни, вы расширяете этот мир, словно уходите в соседние измерения, пока не найдёте каждое решение. Теперь посмотрим: какие перестановки этих корней можно сделать так, чтобы:

1. Новые числа всё так же складывались и умножались;
2. Исходные коэффициенты (то, что задано в уравнении) остались «неподвижными».

Каждая допустимая перестановка — это «автоматическое перенастроение» большого мира, не заметное для исходного. Совокупность всех таких перестроек образует группу: вы можете выполнять их подряд, откатывать назад и хранить «нейтральное» бездействие. Именно эту группу и называют группой Галуа уравнения или соответствующего расширения поля.

Почему она важна? Если группа устроена каскадом «простых» симметрий (разрешима), то корни выражаются через радикалы — так Галуа объяснил, почему квадратичное и кубическое уравнения решаются, а общее пятой степени — нет. В классических задачах построения циркулем и линейкой успех или невозможность напрямую читаются из структуры группы.

В современной науке группы Галуа кодируют симметрии числовых полей, лежат в основе теории кодов, криптографии и даже некоторых моделей физики частиц. То есть, зная, как можно незаметно «перетасовать» корни, мы понимаем, насколько сложно устроено само уравнение и что с ним можно сделать. Группа Галуа превращает вопрос об алгебраических числах в чисто симметрическую игру.

31 мая мы вспоминаем не столько дуэль, сколько интеллектуальный подвиг одной ночи: Галуа превратил трагедию личной жизни в фундамент, на котором строится вся современная теория симметрий.