ЕГЭ. 13 дней до экзамена. Разбор экономических задач

Это, пожалуй, последний разбор. Я очень долго не мог решить, по чему именно писать разбор, и решил, что, пожалуй, совмещу и то, и другое. Так как темы довольно несложные.

Начнём с экономических задач и… Давайте сразу решать, никакой теории я на этот счёт предложить не могу.

Это я написал, когда начинал писать. Но теперь, когда эта статья дописана, я должен вас предупредить — тут только экономические задачи. Неравенства разберу в следующий раз, этот разбор не последний.

Это с РЕШУ ЕГЭ, но вроде составлял Ларин. Вывод: даже Ларин не в силах придумать хоть сколько-нибудь сложное 17 задание.

Если вы понимаете, что вы делаете, то вы решите любую задачу подобного рода. Самое главное перевести всю эту груду текста на алгебраический язык.

И да, математики, конечно, волшебники, но телепатией не страдают, так что, чтобы вас поняли, надо всё объяснять. Прям словами.

Прежде всего нужно ввести условные обозначения. Вы не сможете решить экономическую задачу без всяких букав, а чтобы вас кто-нибудь понял, букавы надо объяснить. Для вашего собственного удобства это стоит сделать заранее.

Набор переменных для большинства экономических задач одинаков:

Это всё. Теперь нам с вами нужно использовать те условия, которые нам даны.

Первое, что мы замечаем — то что всего было три выплаты.

Второе — выплаты можно выразить друг через друга.

Третье — если Аркадий выплатил всего
2 395 800 рублей, то
2 395 800 рублей — это сумма всех его выплат.

Тогда пишем:

Теперь вспомним, что две последние выплаты выражаются через первую и подставим.

В общем, можем выразить x1. Можем пока этого не делать.

Теперь самое главное. Нам нужно составить систему. Мыслим последовательно.

Давайте представим, что у нас есть какой-то долг S, и вот начался новый год. Год идёт, идёт. И потом нам начисляют проценты. То есть долг увеличивается в k раз. То есть теперь у нас долг kS. После того, как долг вырос, мы платим выплату. И долг становится
kS - x

Именно с этим долгом мы входим в следующий год. Таким образом, наша система будет состоять из следующих уравнений:

Теперь заменим x2 и x3 на x1.

Заодно давайте перечитаем условие и вспомним, что долг возрастает каждый год на 10%. Значит,
k = 1,1

И… Пока остановимся.

Теперь нам нужно принять решение. Решать всё в общем виде или сразу вычислять? Мы знаем, чему равен x1. Думаю, нам проще считать непосредственно с самим числом. Ну давайте…

Вернёмся сюда:

И теперь подставляем в систему

Ну и теперь решаем систему снизу вверх. Третье уравнение:

Подставляем во второе:

И теперь подставляем в первое:

Ну вот и ответ.

Ответ: Аркадий взял в кредит
1 923 000 рублей

Самое сложное задачах такого рода — это вычисления. Попытайтесь понять, как вам будет удобнее в итоге вычислять. Есть два варианта:

Первый — сразу подставлять числа в систему и считать по частям, как мы сейчас делали.

Второй — вывести ответ в общем виде, каждый раз выражая S3, S2 и S1 через k и x1. А потом подставлять числа в общую формулу. Способ иногда может быть более эффективен, но в нём выходят квадраты и кубы, что не очень приятно.

Крайне популярный тип задания, я разбирал его в паблике в различных версиях раза три уже. Ещё раз разобрать его лишним не будет, потому что эта задача учит работать с системами любого количества уравнений в общем виде.

Начинаем решать абсолютно также, как и прошлую задачу.

И теперь, как и в прошлый раз, составим систему. Понятно, что мы не будем писать всю систему целиком, но мы должны отразить несколько первых уравнений, общий вид и последнее уравнение.

По какому принципу строить систему, вы должны были уже понять из прошлой задачи.

По-моему, прелесть. Теперь остаётся лишь записать все остальные условия в формульном виде и использовать в нашей системе.

Начнём с того, что каждый месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же часть. Это в условии записано под третьей чёрточкой, и на этом строится всё решение.

Записать в виде формул это можно так:

Смотрим на последние две строчки и делаем так:

Теперь смотрим на предпоследние две строчки:

Продолжая эту цепочку, придём к тому, что каждый предыдущий S будет больше последующего на один S18, что было чрезвычайно логично и без всяких формул. Тем не менее, мы это доказали, и теперь можем говорить о том, что

В общем-то, вычислять всё будем теперь в S18.

Теперь подставим это в нашу систему:

А теперь мы возьмём и нахуй сложим все эти уравнения. Не ожидали такого, да?

Громоздко? Пожалуй, да. Но мы сейчас это исправим.

Заметьте, что в первой строке замечательно выносится k и не менее замечательно выносится S18.

Во второй строке мы вынесем -1, потому что плюсы мне нравятся больше, чем минусы.

В третьей строке мы вынесем S18.

Уже лучше. Теперь давайте посчитаем, что у нас получается в скобках. Через сумму арифметической прогрессии или что-нибудь такое. В крайнем случае, просто взять и сложить, 18 чисел это не так много.

Давайте заметим, что в первой скобке у нас чётное количество слагаемых. Это потому что 18 — чётное, а 1 — нечётное. Значит, сумма того, что в скобках:

18*9 + 1*9 =
81*2 + 9 =
162 + 9 =
171

Забсиье. Теперь обратим внимание на скобку, которая начинается с 17. Там тоже чётное количество слагаемых, потому что 17 — нечётное число, а 0 — чётное. Всего у нас тут 18 слагаемых, поэтому умножать мы также будем на 9. Только вместо 18+1 будем брать 17+0, то есть 17.

17*9 =
18*9 - 9 =
162 - 9 =
153

Всё. Возвращаемся к уравнению.

Так. Я тут понял, что не прочитал вопрос задачи.

Теперь прочитал. Нам нужно узнать, сколько процентов от суммы кредита составляет сумма выплат. Сумма выплат это кто? (who?)

Это x1 + x2 + x3… + x18

Давайте, чтобы каждый раз не писать эту огромную сумму, введём для этого отдельное обозначение. Ну, например, большая буква Х. Я люблю, когда похожие переменные имеют похожие значения.

Итак,

Подставляя в наше уравнение, получим:

Узнаёте? Это то наше громоздкое уравнение.

Нас с вами просят найти это:

Заменяя S1 на S18, получим

И остаётся выразить это из нашего уравнения. А для этого я предлагаю вам задуматься о k.

Нам в условии сказали, что кредит увеличивается каждый месяц на 2%. Значит,

Подставим в наше уравнение

Ну вот почти ответ. Чтобы из десятичной дроби получить проценты, надо её просто умножить на 100.

Ответ: 119%

Надеюсь, я вас не Умарил

Задача, которая работает в обратную сторону. Отличается только парой последних строк.

С вашего позволения (на самом деле, без вашего позволения), я оформлю всё, что я уже показывал, без объяснений.

Теперь можно прочитать условие.

Нам сказано, что сумма выплат оказалась на 63% больше, чем сумма кредита. Значит,

Подставляем это в наше уравнение:

Ну и раз k = 1,18, то каждый месяц долг увеличивается на 18%.

Ответ: 18%

Ну тут за нас вообще всё сделали. По традиции, вводим условные обозначения и составляем систему.

Дальше заметим в условии то, что невозможно не заметить.

Подставим в нашу систему

Теперь самое время подумать о том, что долг растёт на 30%, то есть
k = 1,3

Теперь выразим каждое отдельное x.

Надо посчитать… Лень. Вспоминайте умножение столбиком или придумывайте свои способы считать произведения.

Теперь нужно обратить внимание на то, что «Каждая из выплат будет меньше 5 млн»

Ну и мы с вами догадываемся, что если самое большое число меньше 5 млн, то и все остальные тоже меньше. А самое большое у нас — первое.

Получаем неравенство

5 — это 5 миллионов рублей из условия. Нам же в условии сказали, что S это миллионы. И ещё нам сказали, что S — целое. А ещё мы ищем наибольшее возможноe S.

Наибольшее целое, меньше 50/7 — это 7. Это и есть ответ. В условии пишут S млн, так что в ответе мы не будем писать единицы измерения. Просто 7.

Ответ: S = 7

А вот это уже более-менее прикольно. Всё так же, только тут нам дано n по условию. Мы должны это учитывать, когда будем писать условные обозначения. Ну, например, так:

Так, а теперь. Прежде чем писать систему, давайте осознаем, что мы не знаем, сколько уравнений у нас в системе. Ну, знаем только, что n+1, а что это за n+1 мы не знаем. НО. Мы можем посчитать.

Для этого берём условие о том, что в конце n-го месяца долг — 200 тысяч. Если в конце n-го месяца этот долг такой, то и на начало n+1 он будет таким же. Значит,

А ещё нам говорят, что до этого каждая сумма на 40 тысяч меньше предыдущей. То есть:

А мы с вами знаем, нам сказали в условии, что изначально кредит был 1 миллион рублей. Значит,

Воооот. Нашли с вами количество месяцев. Пора нам писать систему

Всё упрощается тем, что мы знаем каждое отдельное S. Давайте сложим все эти уравнения:

Перечитав условие, узнаем, что сумма выплат равна 1378 тысяч рублей. Сумма выплат это сумма иксов.

Теперь давайте вспомним, что
S1 = 1000
S2 = 960
S3 = 920
…
S21 = 200

Чтобы складывать было удобнее, предлагаю вынести 40 за скобку.

А просят нас найти ежемесячный процентный рост, то есть r. Для этого мы берем, отнимаем от k единицу, и умножаем на 100.

Получаем, что r = 3.

Ответ: r = 3

Вот довольно прикольная. С учётом того, что мы прекрасно знаем, как её решать. Просто разберём два варианта развития событий.

А теперь решение расходится на две ветви.

Теперь мы должны последовательно выразить x через S1.

Теперь читаем условие и видим, что кредит был взят на 331000 рублей.

А чтобы узнать, сколько Анатолий заплатил банку всего, надо сложить все иксы.

Чтобы это как-то обозначить на будущее, предлагаю добавить ещё одну букву.

То есть общая сумма, которую он выплатит по схеме I.

Теперь переходим ко второй схеме.

Что делать в этом случае тоже вполне ясно.

Введём сразу замену.

Осталось лишь сравнить X[I] и X[II].

Ответ: вторая схема выгоднее на 2100 рублей.

Тут тоже надо сравнивать. Но немного другое. В этой задаче самое сложное — расчёты. Ну мы потянем как-нибудь.

Решаем снизу вверх. Снова.

На экзамене столбиком. Не стоит придумывать свои методы, это потратит намного больше времени. Ну, у меня так было на пробнике. Не желаю никому эту задачу на ЕГЭ.

Теперь повторим всё вышенаписанное для двух платежей.

Ну тут система попроще немного. Теперь нужно из 9979200 вычесть 9172800.

Ну это 806400. Что, кстати, и является ответом.

Ответ: на 806 400 рублей

Чего-то я уморился. Сколько задач разобрано? 7? Прогресс. Продолжаем.

Еле отыскал эту задачу. Очень хотел её дать. Здесь нам нужно найти количество месяцев. Или количество уравнений, из которых мы строим систему. И, выходит, мы не сможем построить систему и нам придётся искать обходные пути? А вот хуй им, мы всё равно построим.

Просто добавилась одна буковка.

Надеюсь, вы понимаете, чем отличается i от n.

Через i мы записываем общий вид уравнений в системе, i — какое-то абстрактное число, любое из чисел от 1 до n-1.

n — вполне себе определённое число, через которое задаётся количество месяцев. Это порядковый номер последнего месяца. И именно это число мы ищем по задаче.

Разобравшись с этим, предлагаю по традиции прочитать условие и увидеть, что

Теперь подставляем в систему.

И теперь складываем все уравнения, как мы делали раньше.

По условию нам сказана месячная ставка — 3%, то есть
k = 1,03

Также нам сказано, что сумма выплат на 30% больше, чем первоначальный кредит. Поэтому мы можем записать:

Теперь подставим это в наше уравнение.

Обратите внимание, у нас всё можно сократить на S.

Теперь обратим внимание, что в скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Сумма арифметической прогрессии считается очень просто:

Сумму первого члена с последним умножаем на количество и делим на 2, потому что складываем мы числа парами.

В первой скобке у нас ровно n чисел, сумма первого с последним — n+1, выходит, сумма в первой скобке

Во второй скобке у нас тоже n слагаемых (мы ведь сложили n уравнений, значит у нас везде по n слагаемых). Первое слагаемое — n-1, последнее — 0. Значит, сумма первого с последним — n-1. Значит, вся последняя скобка сводится к

И тогда уравнение принимает вид

Заметим, что каждое слагаемое можно разделить на n, и n у нас никогда не будет равно 0. Делим на n.

Ну а дальше остаётся решать.

Ответ: на 19 месяцев

Ну всё, мне надоели кредиты

Вот вам задача на вклады. Ничем не отличается от кредитов. Ну почти. Хуй вы где найдёте такую процентную ставку, но почему бы и нет?

Введём условные обозначения.

И теперь пишем систему.

В условии сказано, что вкладчик вносил деньги после начисления процентов. Значит, для первых четырёх лет подойдёт такая система:

Что нам сказано в условии? Что после начисления процентов в пятый год сумма стала на 725% больше, чем первоначальная.

Вот так. Ещё нам сказано, что процентная ставка вклада — 50%, то есть

k = 1,5

Ну и ещё нам известно S1. Решаем.

По условию, S1 = 3900.

В общем-то, нам без разницы, в каком направлении двигаться вроде.

Я преобразовал маленько.

Ну пойдёмте сверху вниз.

Вот же хуйня какая в плане вычислений. Ну тут либо столбиком всё решать, либо выносить множители, но чтобы выносить множители всё равно придётся делить.

Ответ: 210 тысяч рублей

А, да, вы не забыли о том, что в условии всё было дано в тысячах рублей? Поэтому и мы решали всё в тысячах рублей.

Решив предыдущую задачу, я понял, что вклады — это хуйня. Слишком большие вычисления. Занудно.

Давайте решим последнюю задачу. От Ларина. Она более-менее сложная.

На самом деле вру. Нихуя она не сложная.

Очевидно, что чтобы у банка было мало денег, он должен получить мало, а отдать много.

Аналогично, чтобы у банка было много денег, он должен получить много, а отдать мало.

Пусть S — сумма, которая была у банка изначально. Все эти деньги банк получил от клиентов, по условию.

Рассмотрим благоприятный исход. Тот исход, когда банк получает много и отдаёт мало.

0,3S он вложил в первый проект. Прибыль там в лучшем случае — 37%, то есть суммы увеличится в 1,37 раз. В конце года банк может получить до 1,37*0,3S от золотодобывающего комбината

0,7S он вложил во второй проект. Прибыль там в лучшем случае — 27%. Значит, он может получить до 1,27*0,7S из этого проекта.

Таким образом, в конце года у банка будет
1,37*0,3S + 1,27*0,7S =
1,27*0,3S + 0,1*0,3S + 1,27*0,7S =
1,27S + 0,03S =
1,3S

Потом банк должен будет отдать деньги вкладчикам. Меньший процент, который, возможно, им нужен — 10%. То есть банк отдаст им в лучшем для банка случае 1,1S. И чистая прибыль будет 0,2S, то есть 20%.

Теперь рассмотрим неблагоприятный исход.

С первого проекта он получил 32%, со второго — 22%, в сумме:

1,32*0,3S + 1,22*0,7 =
1,22S + 0,1*0,3S =
1,25S

Вкладчикам он отдал 20%, то есть 1,2S. Чистая прибыль — 0,05S, то есть 5%.

Ответ:
наименьшая прибыль — 5%
наибольшая прибыль — 20%

Ну всё. В 17 задании ещё на РЕШУ ЕГЭ предлагают задачи на оптимизацию, но их не бывает на ЕГЭ уже 6 лет, да и они попроще. Решите и без меня (вы бы и эти решили, но всё равно)