Обширная статья по перделам и о том, как на них построили матан

В нашем паблике было очень много статей по части матанализа, но ни в одной из них не упоминались пределы. Это плохо, и это пора исправлять.

Пределы, на самом деле, просто позволяют записать формально то, что понятно интуитивно. Хотя временами выдают что-то вообще невменяемое. Впрочем, именно из-за того что всё, что связано с пределами, понятно интуитивно, я смог дать вам производные и интегралы без них.

Надеюсь, я дал их достаточно понятно, потому что в этой статье я буду нередко опираться на то, что уже писал раньше. Может, с подсказками, может, не сильно глубоко, но буду.

Но прежде чем я блфивау вас пределами, хочу максимально немного поговорить про множества.

Счётные и несчётные множества

С конечными множествами всё ясно. Конечности есть у всех, ими можно шевелить, совать в суп или тыкать в глаз. Конечное множество — это, например, множество остатков от деления на число 7.

Проблемы начинаются, когда мы изучаем бесконечные множества. Дело в том, что бесконечности бывают разными. Причём разными по-разному. Есть несколько подходов к бесконечности. Ординалы, кардиналы, алефы, всякое такое. В подробности вдаваться не буду, потому что подробности сам не знаю, но там всё очень интересно и довольно просто.

Это всё-таки больше к теории множеств, а мы тут собираемся заниматься матанализом, и хотя я не люблю делить математику на разделы, не хочется отходить от темы.

Так вот, я думаю, вы догадываетесь, что бесконечность натуральных чисел и бесконечность вещественных чисел — это совсем разные бесконечности. Хотя бы потому, что между любыми двумя вещественными числами лежит бесконечность других таких же чисел, а в натуральных такого не замечается [но вы сейчас увидите, что дело даже не в этом].

Если максимально широко, бесконечные множества делятся на счётные и несчётные. Натуральные числа по умолчанию счётные. Всё, что можно занумеровать натуральными числами — тоже счётное. Всё что нельзя занумеровать — несчётное. Но несчётные тоже бывают разными, и вещественные числа — далеко не самая большая бесконечность из возможных.

Ну, думаю, понятно, все последовательности — это не более, чем счётные множества [потому что там у каждого элемента есть свой номер], а все функции от вещественного переменного [как минимум, те из них, что являются биекцией, а это не меньше, чем все строго убывающие и строго возрастающие функции] — несчётные и имеют такую же мощность, как и вещественные числа.

Ну а теперь к шокирующим новостям. Счётными множествами являются целые и рациональные числа.

Вы сейчас такие: ну целые ещё куда ни шло, но рациональные это ты загнул или не ты загнул но кто-то определённо загнул а ты теперь загибаешь вместе с ним.

Целые это по сути натуральные дважды. Натуральные дважды это натуральные единожды. Нам никто не запрещает нумеровать все положительные целые числа только нечётными числами, а все отрицательные только чётными. Ну и куда-нибудь где-нибудь впихнуть ноль.

Но если вас спросят, какова вероятность того, что случайно взятое целое число окажется натуральным, вы не сможете использовать равномощность этих множеств, вы полезете в ординалы. Может быть, не поможет, но вы всё равно слазайте, на всякий случай.

Рациональные числа это, максимально грубо, пара целых чисел. Положительные рациональные числа это пара натуральных чисел. Пара натуральных чисел — это матрица [табличка с циферками] счётной ширины и счётной высоты. Нумеровать элементы по вертикалям или горизонталям мы не можем, потому что они все бесконечные, но, к счастью, у нас есть вполне себе конечный угол. Нумеруя элементы матрицы по диагоналям, мы занумеруем все возможные дроби.

Несократимых дробей ещё меньше, чем всех подряд, но всё равно бесконечно много, поэтому если множество всех дробей счётно, то и множество несократимых дробей счётно. То есть счётно множество положительных рациональных чисел. Ставим каждому положительному рациональному числу в пару отрицательное рациональное число и объединяем их так же, как делали с целыми.

Есть и другие способы нумеровать рациональные числа, и они весьма и весьма крутые:

1 of 2

Хочу обратить ваше внимание на то, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел. Как видите, это не имеет значения.

Аналогично, счётным множеством будет множество пар целых чисел [например, плоский вектор с целыми координатами или гауссово целое число], множество троек целых чисел, множество троек троек целых чисел и даже множество троек троек троек троек целых чисел — все они будут счётными.

А вот множество всех подмножеств натуральных чисел, размер которого 2^|N|, где |N| — мощность множества натуральных, уже будет несчётным. Множество вещественных тоже. Причём они вроде бы имеют одинаковую мощность.

Не все несчётные множества имеют одинаковую мощность, множество всех подмножеств вещественных чисел должно быть более мощно, чем сами вещественные числа, но нас это не волнует.

Обратите внимание, что вещественные числа несчётны, рациональные счётны, а иррациональные — это все вещественные, кроме рациональных. Это означает, что множество иррациональных чисел несчётно.

Деление чисел на счётные и несчётные очень полезно для такой штуки, как интеграл Лебега. Для непрерывных функций интеграл Лебега совпадает с привычным нам интегралом Римана, который мы просто зовём интегралом. Но наш любимый обычный интеграл не тянет всюду разрывные функции.

Вы, может быть, помните, что определённый интеграл на промежутке это сумма бесконечно маленьких кусочков какашек-прямоугольников. Вот так:

В бесконечном сужении этих прямоугольников никакие уголки никуда не вылезают, и в принципе эти прямоугольники становятся практически одномерными. Мы просто берём и складываем бесконечно много бесконечно малых палок.

Теперь максимально грубо, потому что я, наверное, сам не очень понимаю как это работает. Интеграл Лебега тоже складывает палки, только у этих палок, ко всему прочему, есть ещё масса. Или даже скорее плотность. А в математике эта штука называется мерой Лебега. И проще сначала объединить все палки с одинаковой «плотностью», чем складывать все подряд палки.

Это намного более обширное понятие, чем просто рациональные-иррациональные палки, но если применять её к вещественным числам, то числа из счётного множества, например, рациональные, ничего не весят. Их плотность равна нулю. И их можно даже не считать. А вот иррациональные числа хорошие такие, массивные, их можно складывать. Их плотность 1. Это потому что иррациональных больше, чем рациональных, и рациональные в общую сумму вклад вообще не вносят.

И, в конце концов, мы складываем два интеграла Римана от уже других функций. Одна функция для счётных, другая для несчётных. Но интеграл для счётных мы умножаем на 0, а интеграл для несчётных на 1. Я подозреваю, что меры Лебега могут делиться в любом отношении, главное, чтобы сумма всех мер была равна единице и каждая мера в точности передавала вклад данного множества чисел в конечную интегральную сумму.

В действительности, интеграл Лебега, наверное, складывает не палки, а удобные для складывания множества.

В общем, я устал рассказывать то, что я недопонимаю, так что всё, идём к пределам.

Ult vs&

Rfr z e;t ujdjhbk? rjulf vs ujdjhbv j ghtltkf[? vs dc` gjybvftv bynebnbdyj/ Gj'njve vs cyfxfkf j,celbv nj? rfr vj;yj gjybvfnm ghtltk bynebnbdyj? f gjnjv e;t gthtql`v r ajhvfkmyjve jghtltktyb./

И да, я тут начал писать на английской раскладке, мне так понравилось, что я решил не останавливаться. Там не было ничего важного, я просто сказал, что для начала мы с вами разберёмся с пределами интуитивно, а потом уже формально.

Бывают пределы последовательности, и бывают пределы функции. Хотя последовательности можно считать частным случаем функции, это всё же другое.

Предел функции f(x) в точке a записывается так:

Так записывают значение, к которому стремится f(x), когда x стремится к a. И число a, и сам предел, могут быть бесконечностями. Предел, вдобавок ко всему, может ещё и не существовать. Например, не существует предела синуса, косинуса, тангенса и котангенса на бесконечности. Они могут принимать там вообще любое значение, так как зависят от совсем других параметров.

В пределе последовательности вместо a всегда будет бесконечность. Причём выполняется такая штука:

А может не выполняется. Но эта штука очень и очень логична. Я придумал её только что и она должна работать. Почему? Ну потому что если вы уходите куда-то далеко по функции, и в любой её точке значение бесконечно близко нашему пределу, то и в целых точках оно бесконечно близко нашему пределу, то есть предел последовательности равен тому же числу.

А если в целых точках функция прыгает туда-сюда на бесконечности, то и в принципе предел функции не существует.

Под первое ЕСЛИ не подходит такая прекрасная последовательность, как (-1)^n. Такая последовательность вполне себе существует, но обобщить её в функцию нельзя, потому что отрицательные числа не возводят в вещественную степень. Разве что только в поле комплексных чисел. Комплексные числа не для нас, мы питаемся всякой дрянью.

С другой стороны, последовательность (-1)^n можно переписать как cos(pi*n), и тогда она обобщается в функцию и правило работает. В общем, предел последовательности по большей части бесполезен сам по себе, потому что совпадает с пределом функции. Но в редких случаях может пригодиться.

Кроме того, для последовательностей можно находить частные пределы. Например, у той же последовательности cos(pi*n) есть два частных предела. При чётных n пределом будет 1, а при нечётных -1. В этом плане последовательности прикольнее.

Ну и везде дальше мы с вами будем говорить про предел функции, если я не укажу иного.

Поэтому, пока ещё не ушли от последовательностей, — лайфхак. Если захотите посмотреть жизнь последовательностей в дикой природе графического калькулятора, возьмите подобную им функцию и вместо x везде пишите floor(x).

Про функцию floor я хочу поговорить в ближайшей статье, но пока о другом.

По Коши

Прочитав этот раздел статьи, вы на любой вопрос «Почему?» сможете отвечать «по Коши». Потому что сейчас я дам вам определение предела по Коши. Оно самое простое, самое популярное, а ещё чаще всего находит применение.

Но чтобы вам его дать, мне нужно объяснить понятие окрестность. Представьте какое-то число a. И представьте ещё какое-нибудь положительное число eps. eps это эпсилон, греческая буква, которой обычно обозначают что-то маленькое. И теперь представьте все числа, которые отличаются от a меньше, чем на eps:

Так вот, всё просто. Все числа, которые отличаются от a меньше чем на eps, называются eps-окрестностью числа a. Пусть какое-то число x лежит в эпсилон-окрестности числа a.

Тогда про это число мы напишем:

|x-a| это расстояние межу a и x. Если оно меньше, чем eps, то x лежит в эпсилон окрестности точки a. Это мы и записали.

Так вот, если мы запишем какой-то предел так:

То прибежит Коши или кто-либо другой и скажет, что эта запись означает примерно следующее:

Какое бы малое положительное eps мы не взяли, найдётся такое число d, что для всех x, лежащих в d-окрестности точки a, f(x) лежит в eps-окрестности точки b.

То есть пока x находится где-то рядышком с a, f(x) находится где-то рядышком с b.

Максимально извращённо, но и привычно, определение записывается так:

«Для любого положительного эпсилона больше нуля найдётся такое дельта [на самом деле, тоже больше нуля, но это можно не указывать, так как здесь стоит знак «существует», а не «для всех»], что пока икс лежит в проколотой дельта-окрестности точки а, данная функция лежит в эпсилон-окрестности своего предела в точке a».

При этом дельта зависит от эпсилона.

Ещё хочу обратить ваше внимание на то, что точка x лежит не просто в окрестности точки a, а в проколотой окрестности точки a. Это та же самая окрестность, но без точки a. Иначе говоря, x не может быть в точности равен a, он просто очень близок к ней. При этом для самой функции таких ограничений нет, она в данной точке может совпадать с пределом.

Почему важно, что x отличен от a? Дело в том, что с помощью предела мы находим не значение функции в данной точке, потому что такого значения может и не быть, мы находим то значение, которое в этой точке ожидается, если судить по тому, что происходит вокруг этой точки. То есть, как в этой точке функция должна выглядеть, а не то, как выглядит на самом деле. В общем-то, в этом, наверное, главный смысл предела.

Ну и, конечно же, функция должна существовать во всех точках из проколотой дельта-окрестности, иначе мы просто не сможем её найти, а это требуется в определении. В точке a, при этом, она может и не существовать.

Отдельно предел определяется при стремлении в бесконечность. Там мы говорим о том, что если вдруг мы возьмём какое-то число eps, то для него найдётся какое-то очень большое число X, такое, что для всех x больше, чем X, функция лежит в eps-окрестности своего предела на бесконечности. Опять же, функция там должна существовать.

Есть также определение предела функции по Гейне. Там тоже задействована проколотая окрестность, но в основе определения лежит последовательность.

Дело в том, что предел последовательности определяется намного проще, чем предел функции. Примерно как предел функции в бесконечности: для сколь угодно малого эпсилона найдётся такое гигантское число N, что все элементы последовательности, номер которых больше N, лежат в эпсилон-окрестности этого предела.

Для определения предела функции f(x) в точке a по Гейне мы представляем какую-то последовательность A[n], заданную в проколотой окрестности точки a, пределом которой будет a. Тогда пределом последовательности, задаваемой как f(A[n]) будет предел функции в точке a.

Для предела последовательности из определения следуют свойства:

Определение предела функции по Гейне позволяет обобщить эти свойства и на пределы функций, причём в любой точке. С другой стороны, возможно, существует доказательство подобных свойств и через Коши.

Так или иначе, в этой статье мы будем ими пользоваться, так что я их пишу сюда, а доказательство оставляю на вашу совесть.

Односторонние пределы

Не хотелось бы тупо повторять вузовскую программу первого курса, но пока что приходится.

Для различных целей введены односторонние пределы: левосторонний и правосторонний. Они определяются примерно также, как и обычный, но к точке a мы подходим не сразу отовсюду, а только с одной стороны. То есть мы рассматриваем либо только левую окрестность этого числа, либо только правую. Записываются эти пределы так:

Главное применение односторонних пределов — исследование функции на непрерывность. У функции могут быть разрывы, разрывы бывают трёх видов:

1. Устранимый разрыв. Это в том случае, когда левый и правый пределы равны, но функция в самой точке a либо ускакала чшв пойми куда, либо вообще не определена. Если хотите посмотреть на такую функцию, возьмите любую функцию без разрывов в точке a домножьте её на дробь (x-a)/(x-a). Нуль в знаменателе сделает своё дело
2. Разрыв I рода, или скачок. Это в том случае, когда оба предела существуют, оба конечны, но почему-то не равны друг другу. Обратите внимание, что на значение функции теперь всем чшвов, важны только пределы. Пример такого разрыва — разрыв в нуле у функции сигнума.
3. Разрыв II рода. Если верить википедии, делится на разрыв типа полюс и существенный разрыв. Если вдруг хотя бы один из пределов устремился в бесконечность — это полюс, если хотя бы один из них не существует — это существенный разрыв. В любом случае — это разрыв II рода. Пример полюса: функция 1/x в нуле, пример существенного разрыва: sin(1/x) там же, в нуле. Последнее вообще дикая мтэез.

Важнейшее свойство для расчёта пределов — если в какой-то точке функция непрерывна, то знак предела в этой точке и знак функции можно поменять местами.

Отсюда следует, например, что

Ну и в принципе, считая пределы, мы будет пользоваться этим часто.

Ну всё. Идём дальше, тут скучно

Приплетаю производную

Производная определяется через предел. И очень даже неплохо. Но, опять же, мне снова придётся повторить вам вузовскую, а то и школьную программу.

Производная, как вам известно, это отношение приращения функции к приращению аргумента. Дельта игрек к дельта икс, но только дельта икс очень маленький, а дельта игрек зависит от дельта икс.

Дельта икс настолько маленький, что точки икс и икс плюс дельта икс сливаются в одну, и прямая, которая проходит через точки икс и икс плюс дельта икс — касательная к функции в данной точке. Давайте порисуем.

Берём, значит, функцию, какую-нибудь не угловатую, и кидаем в неё палку. Палку кидаем так, чтобы она определённо оказалась на функции. Проще говоря, просто проводим секущую для этой функции.

В общем-то, тут видно, что икс изменился на x-x0, а игрек на f(x)-f(x0).

Если мы запишем Δx = x-x0, то скажем, что икс изменился на Δx, а игрек изменился на f(x0+Δx)-f(x0). Можем записать это как Δf, но нам важно, что Δf зависит от Δx.

Значит, отношение приращений равно Δf/Δx. Но производную измеряют в точке. Чем ближе точка x к точке x0, тем больше отношение приращений говорит о поведении функции. Дело в том, что выбирая какие-то две точки, мы пропускаем все точки между ними. В этих точках может происходить вообще всё что угодно. В идеале точек между ними вообще не должно быть.

Но если в целых числах ясно-понятно что за чем идёт, то в вещественных между двумя различными числами всегда лежит ещё одно число. И выбрать два числа так, чтобы между ними не было других чисел невозможно.

Но на помощь, как вы догадались, приходят пределы. Предел позволяет подобраться к точке максимально близко, не заходя на неё [вспоминаем о том, что окрестность у нас проколотая]. Таким образом, производная определяется через предел:

Вот, значит, три варианта записи производной через предел.

Первый, конечно, никто не использует, он просто короткозаписываемый.

Второй вариант, как правило, оказывается наиболее подходящим для расчётов, потому что предел в нуле считается более… компактно, пожалуй. Часто удобнее считать предел в нуле, чем в каком-то другом числе.

Третий вариант относительно удобен, но его тоже не очень-то используют. Я привёл его, чтобы показать связь с рисунком. Мы приближаем x к x0 и в пределе считаем отношение двух разностей.

Если вы умеете считать пределы, то все свойства производной выводятся из этой формулы. Если нет, то сейчас мы с вами будем учиться.

Учимся считать

Чтобы избавиться от знака предела, нужно сделать предельный переход. Тут всё очень просто. Если ваш x стремится к a, то вы везде вместо x подставляете a и радуетесь жизнью.

Почему можно просто брать и подставлять? Предлагаю вам доказать самостоятельно. Как правило, когда требуется доказать что-то связанное с пределами или непрерывностями, пользуются определением по Коши. Кстати, сформулировать определение непрерывности через определение предела тоже предлагаю вам самим. Можете этого не делать, статью можно понять и не зная этого, но сделав, вы лучше поймёте сложный материал.

В конце-концов, тот факт, что число можно просто подставлять — это совокупность основных свойств предела и свойства непрерывной функции, про которое я вам говорил. В точке, в которой функция непрерывна, предел равен значению функции. Функция y = x непрерывна во всех вещественных числах.

Если вы не поняли, что значит подставлять a вместо x, то вот:

Правда, у вас могут получиться не самые привычные штуки.

Непривычные штуки бывают хорошими:

Да, получить, что предел равен бесконечности — это нормально. В пределах делить на 0 можно.

Обычно промежуточные вычисления не пишут.

У бесконечности и даже у нуля могут быть знаки, эти знаки принципиальны для исследования функции.

Есть и нехорошие штуки:

Эти штуки не равны ничему и равны всему одновременно. Но вообще-то нет. На самом деле, каждое из них равно всего лишь одному-единственному числу [или бесконечности, что в пределах очень похоже на число, и даже называется не «бесконечность», а «бесконечно большое число»]. Но это число может быть любым и, получив одно из выражений выше, вы не поймёте, какое это конкретно число.

Называются эти штуки неопределённостями. Я перечислил все существующие неопределённости, других нет. Если при предельном переходе у вас получилась неопределённость, то вам дйрзыэ.

Всё, хана, прилетят все боги математического мира и ашненп вас в жопу.

А, как правило, если вы исследуете что-то с помощью предела, неопределённости возникают. Иначе пределы почти бесполезны.

Как же не разгневать математических богов? Прежде, чем сделать предельный переход, нужно убрать из предела всё, что вносит неопределённость.

Самые простые способы сделать это существуют для 0/0 и для ∞/∞. Всё прочее сводится к ним без всякого труда.

Сами по себе эти выражения бесполезны. Но они отражают логику тех преобразований, которые мы будем производить.

Ну, например:

Ой, тут не получилось 0/0. Неудивительно, попробуем ещё раз.

Вот. Мы свели всё к общему знаменателю и тем самым перешли от ∞-∞ к 0/0.

Думаю, вы заметили, как мы в итоге избавились от 0/0. Вытащили все «нули» за скобки и сократили. Пока у вас в дроби одни лишь многочлены, вы всегда можете вытащить их за скобки.

Почему решать такие пределы проще, чем искать корни многочлена? Тут просто. Если у вас x→a и предел содержит неопределённость, то вы точно знаете, что и в числителе, и в знаменателе определённо найдётся скобка (x-a). Иначе неопределённости бы не было. Вы спокойно вытащите эту скобку, например, простым делением в столбик.

Если предел не содержит неопределённостей, то вам вообще зчмбчъф на то, есть там скобки (x-a) или нет.

Другой способ решить такой предел — ввести замену t = x-7. Как я говорил, решать пределы в нуле часто проще. Но здесь, на самом деле, не тот случай. Тем не менее, вот:

Ок. А что делать, если получилась ∞/∞? Как вариант, вот такие ситуации:

Ну, что делать? Во втором случае мы, например, приводим все слагаемые к общему знаменателю и поступаем как с обычным пределом в нуле.

Тогда в первом случае мы бы ввели замену t = 1/x и поступили бы точно так же.

Но существуют методы работы с бесконечностью, и эти методы даже более базовые, чем методы для нуля. Более базовые, наверное, потому что в первую очередь везде и всюду дают предел последовательности, а он бывает только в бесконечности. Предел функции, скорее, есть обобщение предела последовательности, а, значит, предел в бесконечности появляется раньше предела в нуле.

Но относиться к этому можно по-разному.

Если в нуле мы выносили за скобки наименьшие степени числителя и знаменателя, а заменой t = 1/x мы бы поменяли значения степени на противоположные им по знаку, в бесконечности мы будем выносить наибольшую степень:

Здесь вы, наверное, видите, что разницы с введением замены t = 1/x практически нет.

Легко вывести очень приятное свойство для предела в бесконечности: если наибольшая степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности. Если меньше — предел равен нулю. Если наибольшие степени равны, то предел равен отношению коэффициентов между ними.

Можно записать это свойство так:

Доказательство, думаю, понятно. Когда вы вынесите большую степень за скобку, в скобках останется коэффициент перед этой степенью и куча слагаемых, дающих ноль. Затем вы сокращаете степени числителя и знаменателя. Если одна из них больше, от неё останется какой-нибудь маленький кусочек. Этот кусочек даст бесконечность либо в числителе, либо в знаменателе. Бесконечность, умноженная на число — это бесконечность. Число, делённое на бесконечность — нуль.

Похожее свойство есть и для нуля. Если у вас пока мало опыта, не советую запоминать сразу оба, а то будете путаться. В идеале, пользуясь любым из них, вы должны уметь их доказывать. Тогда, если забудете, что куда, сможете вспомнить по доказательству.

Не знаю, замечаете вы или нет, но чем больше мы наращиваем теорию по пределам, тем проще она становится. То есть, чтобы доказать эти свойства, мы уже не спускались до самого определения, а использовали лишь его следствия. Это хорошо, и так часто бывает в математике.

Чтобы решать пределы, зачастую нужно уметь работать с выражениями. Например, если у вас в пределе есть какая-нибудь разность корней, то очень может помочь домножение на сопряжённый множитель. Если не знаете, что это, то давайте расскажу.

a²-b² = (a+b)(a-b)

Формула, известная любому нормальному восьмикласснику. Скобки
(a+b) и (a-b) называются сопряжёнными. Если a и b — квадратные корни, то, домножив разность корней на сумму корней, получим красивое рациональное выражение. При этом, если мы домножили на сумму, мы должны разделить на неё же. Но сумма корней не может вносить неопределённость, это же сумма. Так что вы дальше без проблем от неё избавитесь.

Тут вам очень поможет то, что предел произведения равен произведению пределов.

С этим свойством будьте осторожны, его использование может привести к возникновению неопределённостей. Хотя ещё более осторожны будьте с пределом суммы, там совсем всё плохо.

Если у вас появляется разность корней большей степени, то сопряжёнными здесь не обойтись. Используют обобщение написанной выше формулы

Эта формула легко получается из суммы геометрической прогрессии [опять же, если интересно, докажите сами. Для этого попробуйте вынести за скобки b^n. Знаменателем прогрессии будет a/b, правая скобка станет суммой геометрической прогрессии].

Чтобы не было сильно сложно воспринимать, как это работает, покажу на примере:

Во-первых, вместо всей этой огромной скобки можно писать знак суммы с небольшим содержимым. Во-вторых, чтобы не таскать с собой эту огромную скобку в знаменателе, её можно сразу выкинуть в отдельный предел, по свойству, написанному выше. В-третьих, в следующем разделе я научу вас решать такие пределы без всякой цтэез, так что не пугайтесь.

Если вы решаете предел с тригонометрией, используете свойства тригонометрии. В пределах с логарифмами и иксом в степени — свойства логарифмов и степеней. В принципе, во всём матанализе постоянно нужно работать с выражениями.

Но для решения смешанных пределов нужны более мощные методы.

Всё ещё учимся считать. Замечательные пределы

Что же это за такие мощные методы? Поговорим о самом важном из них.

Наблюдая за всякими штуками, математики заметили две сильно важные штуки.

Первая — синусоида около нуля совсем борзеет и ведёт себя как прямая.

Говорят, что y = x аппроксимирует y = sinx около нуля. То есть около нуля они так близки, что их можно безболезненно менять друг на друга. Про аппроксимацию мы ещё поговорим в этой статье.

Существует доказательство того, что

Доказательство очень милое и совсем несложное.

Берут тригонометрическую окружность и отмечают на ней произвольный положительный угол, но меньше прямого.

Далее смотрим — у нас есть два треугольника. OAB и OAC. Между ними лежит сектор окружности, длина дуги которого равна углу [угол измеряется в радианах]. Между ними — имеется ввиду, что один треугольник лежит внутри сектора, а другой треугольник включает этот сектор.

Площадь OAB равна половине произведения OA на BH. BH равен синусу икс. ОА равен одному. Выходит, площадь OAB равна sinx / 2.

Площадь OAC равна половине произведения OA на OC. AC это тангенс икс. Выходит, площадь OAB равна tanx / 2.

Площадь сектора равна половине длины дуги на радиус. Выходит, это x/2. [x в радианах].

Отсюда следует простое неравенство:

sinx / 2 ≤ x/2 ≤ tanx / 2
sinx ≤ x ≤ sinx/cosx

Поскольку все числа положительные, их можно «перевернуть» со сменой знаков неравенства.

1/sinx ≥ 1/x ≥ cosx/sinx

Теперь домножаем всё на синус, который положительный, а потому знаки не меняются.
1 ≥ sinx/x ≥ cosx

А есть такое важное свойство пределов:

Обратите внимание, что даже если знаки в начальном неравенстве были строгими, в итоговом они всё равно станут нестрогими. Из-за этого часто предел функции равен числу, которому не равно ни одно из значений функции. Кстати, если пределы f1 и f2 равны, то предел g неизбежно равен любому из них. Это свойство называется теоремой о двух милиционерах, потому что милиционеры ловят преступника. Хотя чаще её применяют к последовательностям.

Применяем это свойство к нашему неравенству и получаем:

Очевидно, единственное решение этого неравенства:

Поскольку икс стремится к нулю, нам не нужно рассматривать углы больше 90°.

Далее мы делаем так:

И, выходит, что с какой бы стороны мы не подходили к нулю, всё равно получим 1. Значит, предел в принципе равен 1.

На самом деле, я просто пересказал вам доказательство с Википедии, и я больше не хочу так делать. Просто оно правда красивое.

Итак, мы доказали первый замечательный предел. Мы такие молодцы.

Из него есть следствия, очень полезные. В вузах их заставляют учить, но в принципе никто не мешает сводить всё к оригинальному пределу. Это будет очень сложно и потребует высокого уровня творческого подхода, но у вас что-нибудь выйдет.

Что касается следствий, то вот основные:

Вы, безусловно, захотите доказать их самостоятельно.

Кроме первого замечательного предела есть ещё второй замечательный предел. Их всего два, поэтому этот последний.

Чисто по логике — в скобках у нас какое-то число, которое совсем капельку больше единицы. А в степени бесконечность. Любое число больше единицы в степени бесконечности равно бесконечности [это я так, держу в курсе]. То есть этот предел должен быть равен бесконечности?

Нет. Математические боги достали большой член и показали его нам, потому что мы не правы. Почему не правы? Сложный вопрос. Наверное, потому что в той логике, которой мы придерживались выше, число, которое чуть больше единицы, является константой, а число в пределе зависит от x.

Буква e, называемая числом Эйлера, это просто обозначение как раз этого предела. Поэтому нам не нужно доказывать, что предел равен числу Эйлера, нам нужно просто доказать, что он существует, и что он равен какому-то конечному числу. Причём существуют способы показать, что он лежит в промежутке от 2 до 3.

Это доказательство более сложное. В нём для начала доказывают существование предела последовательности. Для этого скобку расписывают как бином Ньютона, замечают всякие приятности, в том числе то, что n-е слагаемое в расписанном биноме меньше, чем n-й член геометрической прогрессии со знаменателем ½. Ну и ещё там одна единичка в самом начале.

Поскольку сумма такой геометрической прогрессии никогда не будет больше 2, эта последовательность никогда не станет равна 3 или больше 3. То есть она ограничена.

Кроме того, доказывается, что она ещё и монотонна. Несложно доказывается, но расписывать не хочется.

Того, что она ограничена и монотонна достаточно для того, чтобы говорить о том, что у неё есть предел. Этот предел и обозначают буквой e.

Далее доказывают, что соответствующий предел функции равен пределу последовательности. Тоже несложно, но тоже лень расписывать.

За нормальным доказательством идите на Википедию, а я пока продолжу.

Хочу обратить внимание на то, что знак бесконечности в пределе не важен.

Теперь, когда мы знаем второй замечательный предел, мы можем вывести много замечательных следствий:

Я думаю, вы способны оценить значимость этих пределов в вычислении других пределов. Если нет, то сейчас оцените. Для разминки можете подоказывать и эти следствия. Их, подскажу, надо доказывать по очереди, потому что многие из них выводятся друг из друга.

Ещё вы видите, что все пределы, как правило, в нуле. Здесь вы также оцените значимость замены t = x-a.

Сочетая замечательные пределы с разными свойствами пределов типа предела суммы или предела произведения, вы в конце концов поймёте, что просто меняете синусы, косинусы, экспоненты, степени на эквивалентные им иксы:

Здесь мы очень сложным образом свели всё к замечательным пределам [выделил их жирным] и их следствиям и, пользуясь тем, что предел суммы равен сумме пределов и всем таким, превратили sin2x в 2x, корень пятой степени из x+1 без единицы в x/5, корень третьей степени из 1-x без единицы в -x/3.

Отсюда напрашиваются несколько эквивалентностей:

Но эти эквивалентности сведут вас в бездну, когда вы начнёте использовать их, например, в следующем пределе:

В принципе, замечательные пределы в слагаемых надо использовать очень осторожно. Здесь вам их, к сожалению, не хватит.

Вам, может быть, придёт в голову сделать так:

Такой подход близок к правильному, но не правильный. Очень кривой подход. Тем не менее, вы видите, что здесь у нас уже появились новые степени, и это выглядит как хороший знак.

В чём дело? В том что эквивалентность в пределах это не равенство. И функции, которые мы заменяем на степени икса, устроены сложнее, чем просто степени икса.

Дальше немного текста в картинке, потому что в тексте будет много математической цтцуз.

Теперь, когда мы знаем про o(x), мы можем записать эквивалентности в виде равенств и увидеть свою ошибку в решении того предела.

Почему это так? Ну потому что эти функции отличаются от эквивалентных на нечто, не влияющее на предел. Но отличаются. И мы должны учитывать это на всякий случай. Аналогично, мы бы могли записать и наоборот

Ещё свойства о малых:

Теперь вернёмся к пределу и запишем оба наших решения с о малыми.

Как видите, мы не знаем, чему равен наш предел, потому что не знаем, как соотносятся между собой наши малые о.

Надеюсь, у меня вышло понятно объяснить проблему и вы не станете повторять ошибки этой статьи.

Вы также поняли, что те методы, которыми мы пользовались, всё ещё несовершенны, чтобы решать ими вообще все пределы.

Что делать? Идём дальше.

Всё ещё учимся считать. Правило Лопиталя

Это слегка парадоксально, но один из самых мощных способов посчитать предел определён через производные. А производные определены через пределы. То есть чтобы считать пределы, надо считать пределы. Прикольно.

Но дело в том, что чтобы доказать все свойства производных, нам достаточно их определения через предел и свойств предела. Чтобы вывести все элементарные производные [таблица есть в паблике], нам достаточно замечательных пределов.

Доказывать всю таблицу не буду, но покажу на примере синуса:

Здесь применять замечательные пределы можно, можете проверить через малые о.

Так вот, владея таблицей элементарных производных и свойствами производных, мы можем найти производные от большого количества функций [очень большого, такого, что нам достаточно для работы]. При этом нам даже не придётся обращаться к пределам. Мы свободны от них.

Про функцию, которая в точке a имеет конечную производную [предел из определения равен конечному числу], говорят, что она дифференциируема в точке a. Если она дифференциируема там, то и непрерывна там же. Но наоборот не работает.

Например, следующие функции непрерывны в точке 2, но не дифференциируемы в ней. В точке 2 у них изломы, их даже видно:

1 of 3

У изломов существуют только односторонние производные. Это такие же производные, только определяются через односторонние пределы.

Объясняю это на всякий случай, вдруг дальше в статье пригодится.

Если вы знаете функцию, которой задаётся производная, вы без проблем узнаете, дифференциируема ли её функция-мать — в точках, где она не дифференциируема, производная не определена. Это или выбитые точки, или целые куски графика. Например, функция Вейерштрасса не имеет производной вообще нигде:

Для производных непрерывных функций нашлась теорема. Называется теорема о среднем значении.

Эту теорему можно сформулировать графически и даже физически, но мне лень. Доказательство и рисунок легко найти на просторах интернетов.

Из этой теоремы следует правило Лопиталя — один из самых мощных методов нахождения пределов.

Звучит оно так:

Пусть все эти если вас не пугают, как правило, на практике на них вообще можно забить. С учётом введённой нами [и доказанной, по необходимости, вами] теоремы о среднем значении, мы легко докажем правило Лопиталя:

Надеюсь, понятно. Кое-что добавим. В условиях, которые мы определили для правила Лопиталя, пределы f и g в точке a должны быть равны нулю. На деле они могут быть равны и бесконечности. Докажем через правило Лопиталя того уровня, что мы взяли:

Короче вот. Теперь, при виде 0/0 или ∞/∞, вы можете использовать правило Лопиталя. Если не помогло, можете использовать повторно. Мы попробуем сделать это с тем пределом, с которым у нас всё было плохо:

Вау! Супер класс! Стоило столько мцжттой ради единицы. Вбиваем функцию в десмос и смотрим, что мы не ошиблись:

Хорошо, мы проверили Десмос, можем идти дальше.

Тем не менее, мы всё ещё не знаем метода, который бы решал любой предел. Правило Лопиталя хорошее, но у него есть свойство зацикливаться:

Оно зацикливается завтра, а сегодня я спать.

Прошло несколько недель, но завтра наконец-то наступило. Для вас это всего одна строка, правда, но вы не можете представить, что стоит за этой строкой.

Итак, правило Лопиталя зацикливаеться:

Бывает и хуже, например,

Здесь важно пояснить: первый предел существует. Несмотря на то что предел косинуса и синуса не существует, мы можем точно сказать, что это число не меньше -1 и не больше 1. А икс в бесконечности это бесконечность. Бесконечность с числом складывать, конечно, здорово, только число никакого вклада вам не внесёт.

Поэтому мы можем записать что-то такое:

Но это уже совсем не правило Лопиталя.

Хочу заметить, что такая цтстчбь возникает, как правило, в бесконечности. Я не смог придумать ни одного проблемного 0/0.

Правило Лопиталя приносит нам [как минимум, через него хорошо доказывается] ещё один прикольный предел:

Что это значит? Экспонента [и любая другая показательная функция с основанием больше 1] стремится к бесконечности быстрее любой степени икса. Одновременно с этим, это значит, что x стремится к бесконечности быстрее, чем любая степень логарифма с основанием больше 1. Второй пункт эквивалентен первому, достаточно лишь ввести замену t = a^x:

Пожалуй, тут всё. Идём дальше.

Приплетаю ряды.

Пожалуй единственный крупный инструмент матанализа, который мы с вами никогда не разбирали в паблике — это ряды.

В общем-то, здесь ничего сложного. Рядом в данной статье мы будем называть бесконечную сумму последовательности.

Если у нас есть какая-то последовательность a[n], то мы можем придумать к ней последовательность A[n], образованную правилом:

Например, если a[n] это константа, то A[n] это арифметическая прогрессия. А если a[n] это арифметическая прогрессия, то A[n] это арифметическая прогрессия второго порядка. Думаю, понятно.

Так вот, рядом называют ничто иное, как предел A[n]. Прикольно, а? Просто предел последовательности, построенной на другой последовательности как сумма. Записывается это так:

Но значит примерно следующее:

Круто, буквы то появляются, то пропадают.

Про ряды можно говорить многое, но важно не так много. Важно что? То что ряды определяются через пределы. Ряды могут сходиться и расходиться, а ещё они могут быть, в общем-то, не числовыми. Мы не сможем сказать, чему равен следующий ряд:

Потому что в этом ряде есть независимая переменная. Хотя мы можем сделать штуку:

Крутая штука, да? Типа, взяли, сложили все степени икса от 1 до бесконечности и получили вот такое простое выражение. Очень прикольно, а, главное, на этом можно заработать. Подходите к кому-нибудь, показываете это выражение, говорите: «давай ты дашь мне 2+4+8+16+32+64+128+256… рублей, а я взамен дам тебе -2 рубля. Это одно и то же, так что ты ничего не потеряешь». Главное, не уточняйте, что это выражение не работает при больших икс.

Ну и вообще, по-хорошему, здесь нужно возводить в степень не только число, но и единицу измерения, то есть рубли, а квадратные рубли я нигде не видел, они обычно круглые или прямоугольные.

Интересный факт: отношение сторон современных купюр примерно 150:65, при этом рассчитываться купюрой можно лишь в том случае, если она цела более чем на половину. То есть, если вы отрежете от купюры квадрат, он перестанет быть деньгами. Значит, квадратных рублей не существует.

Так, как я уже сказал, ряды могут быть числовыми и, назовём их, функциональными [с независимыми переменными]. Сходятся [имеют предел, равный числу] и расходятся [стремятся к бесконечности или, что для рядов редкость, не существуют] числовые ряды. В функциональных рядах мы, рассматривая соответствующие числовые ряды, можем сделать какие-то выводы о значении ряда при конкретных x. Например, выше мы смогли перейти от ряда к чистой функции, заключив, что при любых других x ряд расходится.

Придумано много способов определять сходимость/расходимость ряда, но статья не об этом. Поэтому последнее, что скажу:

Все базовые свойства ряда следуют из свойств предела и суммирования. Например, здесь мы можем воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения и вынести константу за знак суммы, а потом за знак предела. В результате, выходит, что константа выносится за знак ряда:

И ещё: для любых рядов, и числовых, и функциональных, существует понятие остаточный член. Эта штука нужна, например, когда вы такие взяли и записали ряд в виде двух сумм:

Остаточным членом называется та сумма, которая бесконечная из этих двух. То есть вторая, в нашем случае.

Нужно это в том случае, когда вам нужно лишь конечное количество слагаемых, а остальное вас не интересует. Увидите дальше.

Снова учимся считать. Ряды Тейлора

И снова мы притопали к парадоксам. Ряды определяются через предел [правда, предел последовательности, что важно], производные тоже определяются через предел [функции]. Но чтобы считать пределы, мы можем использовать ряды Тейлора, в которых скомбинированы производные и ряды. Впрочем, мы уже разобрались, почему так можно делать с производными. С рядами это ещё менее парадоксально.

Итак, о чём речь, кто такой Тейлор, и почему я махаю его рядами? Если честно, я хз. Но суть такая: если мы возьмём какую-то точку x0, то вообще для всех x будет верно равенство:

Сокращённо так:

А чтобы было вообще просто, можно сразу принять x0 = 0. Ряды Тейлора, в которых x0 = 0, называются рядами Маклорена:

То есть, мы просто берём функцию, находим кучу кучу кучу кратных производных в одной точке [например, в нуле], и получаем, соответственно, кучу кучу кучу чисел. Подставите эти числа в формулу и получите многочленище, состоящее из одних иксов в степени и коэффициентов перед ними.

Что за мтцуз, Мынка? — Зададите корректный вопрос вы, — Црлузя это так?

Здесь просто смысл в том, чтобы подобрать такой многочлен, чтобы он в выбранной нами точке имел все свои производные равными производным функции. Тот факт, что этот многочлен имеет именно такой вид, как мы написали выше, легко доказывается взятием нескольких производных.

На деле часто оказывается, что взятый нами ряд аппроксимирует лишь в небольшой окрестности этой точки, а за пределами окрестности он с ней вообще не совпадает. Так было, например, с функцией, которую мы рассматривали выше: x/(1-x) полностью совпадает со своим рядом лишь на промежутке (-1; 1) и вообще не не совпадает нигде больше.

По такому поводу для рядов Тейлора ввели понятие «радиус сходимости». И даже придумали, как его считать, но в эти дебри мы в рамках статьи не полезем, если хотите — идите на Википедию.

Нам же с вами, чтобы комфортно считать пределы, достаточно знать лишь несколько рядов Маклорена и понимать, как их использовать:

Чтобы жизнь была счастливее, мы можем заметить, что степень икса в ряде только увеличивается. А потому мы можем прерваться на любом моменте и остаточный член записать через о малое:

Записывание остаточного члена ряда Тейлора через о малые называется остаточным членом в форме Пеано.

Как работать с о малыми в пределе, вы уже знаете, так что тут проблем не возникнет. По сути, ряды Тейлора это просто очень мощные эквивалентности.

Кстати, кроме о малых есть ещё много всего: О большая, омега малая и большая, тетта большая. Эти штуки — асимптотические обозначения, все показывают как связаны между собой две функции. Благодаря им можно сравнивать в пределах совсем дикие функции.

Но мы тут поработаем с о малыми и снова решим тот предел, с которым у нас всё не шло, а потом пошло, а сейчас пойдёт ещё лучше:

Обратите внимание на то, что икс в пределе стремится к нулю и разложение в ряд мы берём в районе нуля [x0 = 0]. Это хорошо. Если икс стремится к другому числу, то нам стоит взять разложение в ряд в окрестности другого числа.

С другой стороны, пока мы находимся в рамках радиуса сходимости, мы можем безболезненно применять разложение в ряд. Для экспоненты, например, ряд Маклорена является настолько базовой вещью, что его использовали как определение матричной экспоненты. Для синусов и косинусов ряды лишний раз показывают их связь с гиперболическими функциями и отражают свойства производных.

А ряд для арктангенса позволяет получить весьма интересную формулу:

Впрочем, мы тут не рядиться пришли, а пределиться. Хотя, здесь мы, наверное, закончили. Больше я не буду учить вас считать. Лучше я вас шокирую.

Ужас, кошмар, пределы потерялись! Дифференциал

Поговорим про дифференциал. Это та штука, которую суют в производные, в интегралы и, что удивительно, в дифференциальные уравнения.

Нам с вами хорошенько навязали [в том числе, я], восприятие дифференциала как бесконечно малого приращения. Пахнет пределами, да?

На деле дифференциал следует рассматривать как переменную. Мы берём какую-то точку x = x0, и крепко в ней заседаем. Теперь x это не переменная, это константа. Находясь в выбранной нами точке мы можем отложить от неё отрезок любой длины на оси ОХ. Это ∆x. Оно же dx. Это новая отдельная переменная, которая показывает расстояние, на которое мы удалились от выбранной нами точки. А поскольку это переменная, она может быть вообще любой величины. Никаких пределов в определении дифференциала нет.

Если dx = ∆x, то с df так не работает. df, то есть дифференциал функции, это функция от переменной dx. Причём обязательно линейная. Пишут, обычно, просто:

df = Adx

A — какое-то число. Но мы-то знаем, что это не просто какое-то число. Это df/dx. Производная функции f в выбранной нами точке x0.

Чем отличается df от ∆f? Теперь, когда мы разбираемся маленько в пределах и о малых, мы можем записать:

∆f = df + o(dx) = Adx + o(dx)

На самом деле, тот факт, что A — это производная функции в данной точке следует именно из этого выражения. Если вы сейчас подставите его в определение производной, то получите, что предел из определения равен А. Ну и всё, дальше просто наслаждаетесь жизнью, ведь теперь можно записывать производную как df/dx, без всяких пределов. Очень удобно.

Про df, из-за этого, говорят, что дифференциал — это линейная часть приращения функции. В o(dx) хранится всё остальное, нелинейное приращение.

Графически это можно показать так:

В пределе ∆f и df совпадут. Но без предела производной равно отношение df/dx, а не ∆f/dx. В этом их разница.

Ну и, получается, что если мы не фиксируем начальную точку икс, то df это функция от двух переменных — от икс [от него зависит А, то есть производная] и от dx [от него зависит линейно].

Вот. Я это всё к тому, что в определении дифференциала фактически не используются пределы, это довольно неожиданно.

Ну и напоследок то что мы любим. Интегральчики

Мы уже говорили об интегралах Римана в этой статье, но теперь пора перевести их на язык пределов. Мы, как обычно, предполагаем, что у нас под графиком много прямоугольников и мы эти прямоугольники сжимаем. Как это обычно дают.

На отрезке [a, b] выставляют n разных точек: x1, x2, x3, x4 и так далее до x[n-1], за x0 обозначают a, за x[n] обозначают b. Вводят простенькую замену ∆x[i] = x[i+1] - x[i]. И за ∆x обозначают самое большое из них. Тогда можно записать определение интеграла как

Но вообще-то, это ненастоящее определение интеграла Римана. Настоящее выглядит так:

Зачем? Это надо. Потому что интеграл должен быть одинаков независимо от того, как мы поставили свои n точек и как мы выбрали между парой точек вот эту страшную букву, называемую кси.

Что касается неопределённого интеграла, то он определяется как множество всех существующих первообразных для данной функции. А первообразная от функции это функция, производная которой равна исходной функции. В общем понятно, там предел есть только в определении производной, поэтому тот случай нас не сильно интересует.

Но что хочется отметить — интеграл очень похож на знак суммирования, а производная на разность последовательности. Я, может, даже напишу об этом статью. В частности, мы с вами сталкивались с этим, когда страдали арифметическими прогрессиями. Оказалось, что все мои формулы можно доказать по индукции. Прикольно, да? Ладно, я завершаю.

Пределу вы найдёте огромное множество применений по жизни и в математике, и, я думаю, вы должны быть счастливы, что вы существуете в мире, где придумали предел и где его даже сформулировали строго. Если в натуральных числах вы точно знаете, какое число идёт после какого, то в действительных такого сделать нельзя. Пердел решает эту проблему, позволяя подобраться к числу максимально близко, не заходя на него.

Счастья и любви вам, побольше детей и жён.

Посмотрите какие извращенцы режут мандарины аааааааааааааааааа мои глаза!!!!!