Как быстро посчитать квадрат большого числа?

Итак, начнём с простого. Хотите вычислять квадрат любого числа за несколько минут? Сейчас объясню, как.

Вообще, пока что люди придумали всего лишь три основных способа, как считать степени: перемножать столбиком, тыкать кнопки на калькуляторе или учить их наизусть. Столбиком долго и муторно, калькулятор тянет не все числа (лично для моего предел 2^50000), ну а выучить наизусть бесконечное число чисел нельзя. И тут появляюсь я со своим четвёртым способом и спасаю положение.

Итак, приступим. Любое число можно записать в виде

a*10^n + b*10^(n-1) +... v*10^1 + w*10^0,

где а, b... v и w — некоторые натуральные однозначные числа;
n — просто какое-то натуральное число.

Проще говоря, мы можем просто порвать число на циферки.

А теперь, давайте, разберёмся, как устроено умножение столбиком. По сути, мы просто берём два числа и по очереди попарно перемножаем цифры, расставляя их по местам в зависимости от разряда. Это является, по сути, простым перемножением многочленов. Тут ведь все умеют перемножать многочлены? Это типа

(а+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd.

Ну, понятно, в общем (надеюсь).

Так вот, один (а может не один) мудрый человек придумал, как это записать так, чтобы было относительно удобно, и его способ стал популярен.

Ну ладно, пусть себе сидит, перемножает свои многочлены, малочлены, Набережные Челны, это его дело. Но мы-то работаем с квадратами чисел. И, если вы учились в седьмом классе, вы знаете о такой штуке, как формулы сокращённого умножения. Не нужно вспоминать все, нас сегодня хватит одной:

(a+b)²=a²+2ab+b²

Видите, да? Было четыре слагаемых, стало три. А если в скобках будет три буквы, то экономия составит уже три слагаемых. Вместо 16 будет 10, вместо 25 — 15, 36 -> 21. И так далее.

Пользуясь этим, можно значительно сократить время, затрачиваемое на рассчёт квадрата. Каждому разряду искомого числа соответствует своя миниформулка для рассчёта. Эти формулки подчиняются простой логике симметрии.

Вы можете посмотреть их ниже вплоть для пятизначных чисел, а для больших постараться вывести самостоятельно.

Прежде чем переходить на более сложные темы, покажу вам, как выглядит моя техника на бумаге. Длинную запись я сделал для понятности: мы записываем одну цифру в одну клетку, десятки и сотни переносим в следующие разряды.

Короткая запись просто убирает те цифры, которые можно сразу записать в число, а также лишние отступы. Освоив технику, вам будет удобнее именно этот вариант. Он экономит очень много места, особенно когда речь идёт о больших числах. Для трёхзначных, в принципе, это всё можно проводить в уме, сразу же записывая ответ на листок.

Обратите внимание, как мы идём: каждому разряду числа соответствуем своя микроформула, мы уже это выяснили. Но можно просто идти поочерёдно от меньшего разряда к большему. Сначала мы умножаем 1 на 1, потом 1 на 9, затем 1 на 7 и тут же 9 на 9, так как она стоит ровно между ними. Затем 9 на 7 и после 7 на 7. Не стоит забывать про коэффициент 2, его мы ставим, когда перемножаем цифры из разных разрядов

Ну а теперь большие степени. Тут, признаюсь, мой способ даёт промах. Закономерности резко усложняются ещё на двузначном числе в кубе. Выводить их становится весьма проблематично и решать, в итоге, скорее всего, придётся по шаблону. Но у вас уйдёт дохуя времени, чтобы вывести даже сам шаблон (лично я только что потратил около часа на формулу для четвёртой степени четырёхзначного числа).

И это не последняя проблема. Если для второй степени максимальное число, с которым приходилось работать, было 162, и их в целом можно было считать по таблице умножения в уме, то в кубах вам придётся работать с четырёхзначными числами (наибольшее — 4374), а в четвёртой степени — с шестизначными (тут максимум уже 157 464).

Тем не менее, считать большие степени таким образом можно. Например, найти куб той же 2^50000. Разбить его так же по микроформулам и считать, комбинируя мой метод со столбиком или калькулятором. Это проще, чем решать всё столбиком целиком. Другой вопрос, нахер это вообще считать.

Но математика в целом такая наука, где практика не особо-то и нужна, кругом одна сплошная теория. Поэтому давайте всё-таки разберёмся, как выводить формулы для различных чисел. Для этого придётся углубиться в теорию формул сокращённого умножения, а именно степени суммы.

Первое, на что обратим внимание, это одночлены, из суммы которых строится наше число. Для кубов их существует три вида: а³, а²b и abc. Ну и, соответственно, все возможные варианты, вроде ab², a²c и c³ распределены по этим группам. Другими словами, есть число в кубе, произведение квадрата и числа первой степени и произведение трёх чисел первой степени. Надеюсь, понятно. Каков показатель степени, таково и количество множителей в одночлене.

Для четвёртой степени вариантов уже больше: а⁴, a³b, a²b², a²bc, abcd. Вариант с наибольшим количеством разных множителей появляется всегда впервые в степени такого числа, в котором количество цифр равно показателю степени.

Второе, тесно связанное с видами одночленов обстоятельство — коэффициенты. Вариантов коэффициентов столько же, сколько и вариантов одночленов. Например, около a², a³ и a⁴ коэффициент равен одному, для аb, a²b и a³b коэффициенты соответственно 2, 3 и 4, а для ab, abc и abcd — 2, 6 и 24.

А теперь ловите логику в этом всём. До сегодняшнего дня (то есть до 1 апреля) для меня оставалось загадкой, каким образом расставляются коэффициенты в этих формулах. Я просто их считал, перемножая многочлены. И вот сейчас понял, что они подчиняются простейшим правилам перестановок. Так, 2, 6 и 24 это соответственно 2!, 3! и 4! Другие коэффициенты считаются схожим образом. Например, 6 около a²b² это 4!/(2!+2!), а 12 около а²bc это 4!/2!. Надеюсь, понятно. В общем, это то, что проходят в конце восьмого класса и повторяют в начале десятого.

Третий пункт — сумма всех коэффициентов должна быть равна количеству цифр в скобках, возведённому в ту же степень, что и сама скобка. Таким образом можно проверить себя при выводе формулы, все ты комбинации использовал или нет.

И последнее, на что нужно обращать внимание — это степени десятки. Мы с вами привыкли к десятеричной системе счисления, поэтому это очень важно. Степень десятки определяет положение цифры в искомом числе. Чтобы было понятней, посмотрите прикрепы.

Ну а я заканчиваю. Спасибо, что дочитали до конца.