Межкафедральный семинар по Дискретной математике

▪ А. Б. Скопенков «Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии»

Аннотация:

Теорема Радона о четырех точках на плоскости была обобщена в четырех разных направлениях. Получилась четырехмерная решетка результатов, из которых некоторые знамениты и нетривиальны - например, теоремы Тверберга и ван Кампена-Флореса. Некоторые неверны - например, топологическая гипотеза Тверберга (контрпример 2015 года). А некоторые являются открытыми проблемами.

На примере простых доказательств некоторых из этих результатов я покажу базовые идеи важных методов (применение топологии конфигурационных пространств; знать эти термины не обязательно для понимания доклада). См. подробнее п. 2.1.2 «2^4 задач по комбинаторной геометрии» в книге "А. Скопенков, Алгебраическая топология с алгоритмической точки зрения"

▪ А. Ю. Перепечко «Факторизация торических отображений, взвешенные графы и группа Томпсона»

Аннотация:

Мы покажем, как автоморфизмы аффинных алгебраических поверхностей (например, плоскости) можно представить в виде преобразований взвешенных графов.

А именно, мы погрузим поверхность в проективное пространство и рассмотрим дополнение к поверхности на бесконечности - это будет набор кривых, которому мы сопоставим граф инцидентности с определёнными весами. Тогда автоморфизм поверхности порождает перестройки этого набора, тем самым и взвешенного графа.

Мы ограничимся теми автоморфизмами, соответствующие которым перестройки графов являются гомеоморфизмами. Такие автоморфизмы локально являются торическими и связаны с группой Томпсона Т кусочно-линейных преобразований окружности.

Также мы поговорим о слабой и сильной факторизации торических отображений в произвольной размерности и свяжем это с преобразованиями взвешенных симплициальных комплексов и с разложением целочисленных матриц из SL(n,Z) в элементарные.