Общая теория относительности и диалектический материализм. Часть 1

Мы продолжаем цикл статей о большевизации физики. В прошлый раз говорили о первой части Теории относительности А. Эйнштейна — Специальной теории относительности (СТО) [1], которая касается только наблюдателей, движущихся с постоянными скоростью и направлением относительно друг друга, и описывает преобразования физических величин на больших скоростях.

В настоящей статье рассмотрим Общую теорию относительности (ОТО) — современную физическую теорию пространства, времени и тяготения, описывающую движение материальных объектов в гравитационных полях. Как и в прошлый раз, помимо краткого обзора самой теории будет представлена её критика со стороны пяти советских физиков-материалистов: И. Орлова, А. К. Тимирязева, В. Г. Фесенкова, З. Цейтлина и П. А. Смирнова. Мы проведём анализ этой критики и сделаем вывод о соотношении ОТО с диалектическим материализмом.

В данной работе мы не будем рассматривать общие вопросы большевизации науки вообще и физики в частности, т.к. это уже сделано в предыдущей статье. Критический материал будем анализировать исключительно конкретный, посвящённый самой рассматриваемой теории.

Для начала вспомним выводы, к которым мы пришли ранее:

1. Основное содержание специальной теории относительности, свободное от философских воззрений А. Эйнштейна, не противоречит диалектическому материализму, оно может и должно быть истолковано с позиций последнего.

2. Философские воззрения А. Эйнштейна материализму противоречат. Их критика со стороны материалистов в общем и целом справедлива.

3. Принцип постоянства скорости света в вакууме является выводом классической электродинамики, а также экспериментально подтверждённым фактом, который наряду с его следствиями успешно используется на практике. Его необходимо признать вместе со всеми его следствиями.

4. Электромагнитные волны отличны от большинства известных человечеству волн. Они материальны сами по себе и не требуют никакой среды для своего распространения. Эфира в том виде, каким его представляли себе физики до середины прошлого века, нет, однако, вопрос о его существовании в ином виде и непосредственно связанный с ним вопрос об истинной природе пространства нельзя считать закрытыми в рамках СТО.

5. Энергия есть свойство материи, значение которой прямо пропорционально её количеству.

6. Концепция четырёхмерного псевдоевклидова пространства-времени Минковского отражает диалектическое единство пространства и времени. Однако оно также является не более чем математическим выражением нашего представления о реальном пространстве-времени. При этом важно помнить, что наше представление о любом объекте никогда не равно абсолютно самому объекту.

7. При включении теории относительности в курс физики, из него была исключена теория привилегированных систем отсчёта, что нанесло ему ущерб. Эти теории необходимо согласовать друг с другом и обе включить в означенный курс. Кроме того, современный курс физики не объясняет, что пространство и время суть атрибуты материи, что также не лучшим образом влияет на его качество.

В дополнение к вышеприведённым выводам, отметим, что читатели нашей предыдущей статьи оставили к ней отзывы, среди которых попался и один особо интересный. Приведём его текст:

«Очень интересная статья. Хотелось бы, однако, сделать пару замечаний.

Во-первых, школьники всё-таки знакомы с "привилегированными СО", ведь разница между СО изучается на первом же году обучения физике при изучении 1 закона Ньютона, а в следующие годы углубляются при изучении движущихся СО. Другое дело, что полученные знания всё ещё недостаточны, хотя, например, объяснить, почему считается, что именно Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот, смогут многие.

Во-вторых, никакой "эфиродинамики" не будет, ведь "эфир" уже давно вернулся в физику в виде виртуальных частиц, заполняющих вакуум. Конечно, никто не станет звать их "эфиром", ведь они не "среда распространения света" и даже вообще не среда. Зато они ответственны, например, за "нулевые колебания" квантового осциллятора, а ещё за излучение и "испарение" чёрных дыр.

Следует заметить, что непустота вакуума и непрестанное движение в нём были теоретически выведены благодаря объективному пониманию квантовой неопределённости (в противовес субъективному пониманию этого свойства как простого несовершенства приборов — в этом случае, наоборот, такое не было бы возможно). Надеюсь, об этом зайдёт речь, когда в своих статьях вы доберётесь до КМ в своих статьях.

Наконец, конечно же, пятый пункт выводов верен лишь для покоящейся материи (точнее, без учёта её движения). Впрочем, было бы придиркой требовать вспомнить полную формулу».

Мы вынуждены признать, что несколько преувеличили, заявив, что учение о привилегированных системах отсчёта было убрано из курса физики полностью. Правильнее сказать, что его существенно урезали, оставив лишь первый закон Ньютона и вводимое через него понятие инерциальной системы отсчёта, а описанные в нашей статье дополнительные условия привилегированности систем отсчёта, а именно кинетическое условие и принцип взаимности, были из него убраны.

В отзыве читателя также имеются утверждения на тему эфира и эфиродинамики, раскрывающиеся через явление виртуальных частиц и квантовой неопределённости, которые, несомненно, представляют определённый интерес и будут раскрыты нами в будущих статьях. Эти вопросы, вообще говоря, не входят в рамки теории относительности, которая рассматривается в предыдущей и в настоящей статьях.

Пятый пункт нашего вывода касается энергии. В диалоге с читателем мы уточнили, что он имеет в виду зависимость внешнего движения от системы отсчёта и независимость от неё движения внутреннего. В ответ на это должны заметить, что приведённые читателем аргументы сделанному нами выводу о сущности энергии не противоречат и уж тем более не делают этот вывод неверным: зависит или нет энергия того или иного движения от системы отсчёта, она в любом случае будет являться характеристикой движения материи, значение которой прямо пропорционально её количеству. Добавим, что внешнее и внутреннее движения диалектически связаны между собой: одно и то же движение будет внутренним для некоего целого и одновременно с этим — внешним для частей этого самого целого.

Также работа над предыдущей статьёй навела нас на мысли, которыми мы спешим поделиться. Прежде всего, мы отчётливо увидели, насколько сильно буржуазное мировоззрение приводит современную физику к деградации. В случае с СТО это выражается в «выдавливании» из физики теории привилегированных систем отсчёта и материалистических представлений о пространстве и времени как атрибутах материи. На их место пришла идеалистическая теория всеобщего равноправия систем отсчёта и безразличности её выбора, представление же о пространстве и времени нам предлагают «никакое», сугубо интуитивное и метафизическое. Даже само название «теория относительности» является, по сути, памятником одержавшим верх идеалистическим тенденциям в современной физике и не отражает сути этой теории, заключающейся в том, что неразрывное единство пространства и времени — это не просто вывод материалистической философии, а объективный факт, проявляющий себя в действительных физических процессах.

В конец статьи вынесены примечания для наиболее искушённого в предмете читателя. Ссылки на эти примечания будут даны в {фигурных скобках}.

Появление СТО произвело переворот в механике, изменив основные уравнения кинематики и динамики как поступательного, так и вращательного движения, включая законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Однако целый ряд разделов механики только предстояло с этими изменениями согласовать. И если такие разделы, как механика сплошных сред, гидро- и аэродинамика и теория упругости, вобрали в себя эти изменения сравнительно легко (сложности в этом деле имели скорее технический характер), то вопрос согласования с классической теорией гравитации выявил принципиальные противоречия, требующие появления новой теории, которой и стала общая теория относительности.

Основное противоречие заключается в том, что СТО решительно утвердила в физике принцип близкодействия , в то время как классическая теория всемирного тяготения Ньютона была основана на принципе дальнодействия.

Принцип близкодействия означает, что материальные тела могут взаимодействовать только через некий посредник, например, электрическое или гравитационное поле.

Принцип дальнодействия означает, что материальные тела всегда могут физически взаимодействовать между собой непосредственным образом, мгновенно, и на любом расстоянии, по сути без каких-либо материальных взаимосвязей, как-то «с Божьей помощью».

Если бы это было единственным противоречием между двумя теориями, его можно было бы разрешить, просто изменив теорию гравитации по прямой аналогии с электродинамикой — «клонировать», так скажем, её. Нечто похожее пытался некогда сделать Пауль Гербер, но получилось «не очень» — прежде всего потому, что свои изыскания он проводил до того, как уравнения Максвелла стали каноном электродинамики, он пользовался уравнениями Вебера.

Но есть ещё одно противоречие, которое заранее сводит на нет любые попытки решить проблему столь элегантным способом: СТО утверждает зависимость массы материальных тел от скорости их движения (в общем случае — от накопленной в них энергии: одно и то же тело будет иметь большую массу, если его нагреть, и т.д.), в то время как в классической теории гравитации массы тел от скорости их движения не зависят, равно как не зависят от неё электрические заряды движущихся тел в электродинамике. Это приводит к тому, что, например, эффект искривления световых лучей гравитационными полями невозможно объяснить ни в рамках классической теории гравитации, ни в рамках гипотетической теории, построенной по полной аналогии с электродинамикой. Важно отметить, что теория всемирного тяготения Ньютона считается применимой в более узких границах, чем более новая, пришедшая ей на смену ОТО. Эти границы в её случае составляют слабые поля, короткие дистанции и малые скорости движения материальных объектов.

Для того, чтобы построить принципиально новую теорию, необходимо утвердить исходные принципы, на которых она будет построена и на которые будет опираться. Исходный принцип общей теории относительности — принцип равенства инертной (определяющей динамические характеристики тела как движущегося объекта) и гравитационной (определяющей характеристики взаимодействия тела с гравитационным полем и его собственную способность таковое создавать) массы одного и того же объекта.

Равенство инертной и гравитационной масс проявляется, в частности, в неотличимости друг от друга действия на один и тот же объект сил гравитации и сил инерции, возникающих в неинерциальных системах отсчёта в результате их ускоренного движения относительно инерциальных (ИСО). В том смысле, что поля обеих сил являются по своей сути полями ускорений, приобретаемых в этих полях телами независимо от их массы. А величины каждой из этих сил, соответственно, прямо пропорциональны массам тел, на которые они действуют. Например, человек, стоящий в лифте, который находится вдали от любых источников гравитации, но движется с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли, никак не сможет отличить, находясь внутри, стоит ли лифт на поверхности Земли или летит в пространстве с ускорением. Отличаются же эти силовые поля законами, которыми они задаются: в общем случае силы инерции растут с удалением от начала координат (актуально для вращательного движения), а силы гравитации, напротив, падают.

Следующим шагом в этих теоретических построениях будет то, что для любой точки пространства и любого момента времени можно подобрать такую неинерциальную систему отсчёта, в которой в этой же точке пространства и в этот же момент времени (т.е. локально) сила инерции будет равна по своему абсолютному значению силе гравитации и компенсировать её. Такая система отсчёта называется локально-инерциальной, поскольку при полном уравновешивании сил инерции и гравитации итоговое ускорение становится равным нулю и полученная таким образом система будет в указанной точке соответствовать определению ИСО. Так выглядят основные теоретические построения на базе принципа эквивалентности [сил инерции и гравитации], лежащего в основе ОТО.

Принцип эквивалентности в описанном виде применим к движению материальных объектов любых скоростей, в том числе близких к скорости света и даже равных ей (например, собственно, свет). Как нам известно из СТО, движение таких объектов адекватно описывается в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского, где к привычным трём пространственным декартовым координатам добавлена ось времени. В дальнейших своих рассуждениях ОТО приходит к тому, что гравитация приводит как бы к «искривлению» пространства. Имеется в виду, что гравитация изменяет его метрику (то есть способ вычисления расстояния, интервала, между двумя точками), делая её криволинейной.

Следующий претенциозный вывод, к которому приходит ОТО, — это то, что само привычное нам понятие системы отсчёта, как системы взаимно неподвижных линеек с синхронизированными во всех точках пространства часами, теряет свой смысл в силу того, что взаимная неподвижность тел при наличии гравитационного поля становится абсолютно невозможной, т.к. метрика самого пространства оказывается изменяющейся во времени. Но поскольку теряет смысл понятие системы отсчёта, его также теряет и принцип относительности, принятый в СТО. При таком положении дел необходимо ввести новую систему отсчёта и новый – общий – принцип относительности.

В ОТО в качестве системы отсчёта берётся некая бесконечная совокупность «невесомых» тел, снабжённых своими собственными часами и представляющая собой некое подобие сплошной среды, в которой показания часов при переходе от точки к точке изменяются непрерывным образом. Система отсчёта задаётся таким образом, чтобы каждой точке пространства—времени соответствовала четвёрка чисел, обозначающих её координаты, а сами эти координаты образовывали непрерывное множество – пространственно—временной континуум. При таком способе задания систем отсчёта, вводить понятие ИСО оказывается бессмысленно в принципе. Общий принцип относительности заключается в том, что уравнения движения имеют одинаковый вид во всех системах отсчёта, заданных описанным образом.

Среди выводов из ОТО также – эффект замедления времени в присутствии гравитационного поля, криволинейное движение света, отклонения орбит космических объектов от орбит, предсказываемых теорией всемирного тяготения Ньютона, возможность существования «чёрных дыр» и другие.

Отметим, что в обычном человеческом языке пока просто нет ни терминов, ни понятий, позволяющих адекватно описывать рассматриваемую теорию. Поэтому приходится использовать язык математики. Читатели, мало знакомые с данной формой выражения мыслей, могут в крайнем случае пролистать наиболее непонятные страницы вниз и сначала прочитать критику общей теории относительности, которой посвящены вторая и третья статья данного цикла.

Начнём, пожалуй, с «искривления» пространства. К этому выводу ОТО приходит, рассматривая пространство как математический объект, метрика которого выражается сложной математической формой — тензором.

Метрика, тензор — это математические понятия. Их, как и дальнейшие, сложные на первый взгляд математические построения, учёные применяют как «костыли» для сознания, чтобы хоть как-то описать то, что напрямую для человеческого понимания недоступно. И вот как раз в этом всём мы находим нечто примечательное: то, что в действительности является дополнительным инструментом для познания окружающего мира, те самые «костыли», воспринимается частью учёных как абсолютно полное и точное выражение действительного пространства-времени.

Чтобы понять, что такое тензор, рассмотрим его частный случай — вектор. Его очень просто себе представить в виде отрезка, имеющего направление. Векторную форму имеет множество величин в физике, например, сила, скорость, ускорение, перемещение и другие. Длина вектора определяется абсолютным значением величины, выражаемой им. Чтобы выразить и величину, и направление какого-либо вектора в любой привычной нам трёхмерной системе координат, берётся представление из трёх чисел: (3, 2, -1). По одной координате значение векторной величины равно 3, по другой — 2, а по третьей — 1 и направлено в противоположную сторону, что выражается знаком минуса. Каждое из этих трёх чисел, таким образом, является компонентой вектора, а сама форма записи в виде тройки чисел — одномерным массивом. Это значит, что каждая координата задействована в нём единожды и его можно записать в строку или в столбец.

Также массив чисел может быть двумерным как на изображении ниже.

Помимо этого массив может являться трёх- и более -мерным. Такая форма записи и характерна для тензора в общем случае.

Чтобы наглядно представить себе, что может выражать математический объект подобного рода, попробуйте ровно пополам разорвать лист бумаги. Практика показывает, что без предварительной подготовки листа, разорвать его на две равные части практически невозможно. Приходится его сгибать по желаемой линии разрыва, прочерчивать её шариковой ручкой или даже надрывать. В общем случае лист разорвётся как попало, а линия разрыва едва ли будет напоминать прямую, это будет скорее какая-нибудь кривая или даже зигзаг. И именно этот зигзаг наглядно демонстрирует нам, что векторная величина (в данном случае — сила) может вызывать некий отклик как по направлению своего действия либо перпендикулярно ему, так и по всем направлениям сразу. И чтобы связать эту величину с такого рода откликом, и применяется объект, выражаемый двумерным массивом чисел — тензор второго ранга.

Рассмотрим этот пример подробнее. Стремясь разорвать лист бумаги, мы прикладываем к нему пару сил, направленных в противоположные стороны и равных между собой. Для упрощения мы представим лист бумаги в виде двухмерного объекта, имеющего нулевую толщину (толщина листов бумаги обычно имеет значение много меньшее, чем остальные их размеры, однако, для вычисления некоторых параметров её всё равно придётся учесть — см. далее). Пара сил, прикладываемых к листу бумаги нашими руками, вызывает в нём механические напряжения, рассчитываемые по следующей формуле:

В развёрнутом виде это выражение выглядит как:

Если эти выкладки непонятны, нужно изучить правила умножения вектора на вектор и вектора на тензор.

Мы видим, что на каждую из компонент (по х и по у, для удобства их можно условно назвать «горизонтальным» и «вертикальным» направлениями) вектора напряжения P, возникающего в каждой точке листа бумаги, влияют обе компоненты вектора силы F, действие которой проявляется в виде тензора напряжений s. Компоненты тензора Gхх и Gуу, отвечающие за напряжения вещества бумаги, соответствующие направлению прикладываемой силы (горизонтальное — по горизонтали, вертикальное — по вертикали), называются нормальными напряжениями (растяжения), а компоненты Gху и Gух, отвечающие за передачу напряжения от компоненты силы в перпендикулярном направлении (вертикального — по горизонтали и наоборот), — касательными напряжениями (сдвига).

Итак, пространство в ОТО рассматривается в виде математического объекта, метрика (то есть способ вычисления расстояния (интервала) между двумя точками) которого выражается тензором. Понятие «интервал» применяется вместо «расстояние», когда речь идёт о расстоянии не просто в пространстве, а в пространстве-времени. То есть, когда мы говорим «интервал», то имеем в виду «расстояние» не только в пространстве, но и во времени.

К примеру, метрический тензор евклидова выглядит для плоскости следующим образом:

Для трехмерного пространства:

Это значит, что интервал в этих координатах считается по следующим формулам:

Для плоскости:

Для трёхмерного евклидового пространства:

В общем виде интервал записывается как:

Прежде чем идти дальше, разъясним ещё несколько математических понятий, начав с понятия бесконечно малого, как имеющего своим пределом нуль, и бесконечно большого, как имеющего пределом бесконечность. Определения этих терминов, принятые в математической науке, конечно, сложнее, чем наши объяснения «на пальцах», но смысл тот же, надеемся, нам удалось их раскрыть. Но это ещё не всё. Математический анализ удивителен тем, что в нём раскрывается диалектика конечного и бесконечного, а также большого и малого. Пожалуй, не существует более конечного образа, чем образ непрерывной функции. Но посмотрим, какой её видит наука матанализа.

Непрерывной называется такая функция, близким значениям аргумента которой соответствуют близкие значения самой функции. Более точный признак непрерывности состоит в том, что её значение всегда в точности равно её пределу при данном значении аргумента. Казалось бы, при чём здесь бесконечно большое и бесконечно малое? А при том, что именно бесконечно малое подразумевается в словах «близкие значения аргумента/функции», данных в определении непрерывной функции. Французский математик Огюстен Луи Коши в своё время на этом, как говорится, не одну собаку съел. Но самое главное — сколь бы мала ни была разница между двумя близкими значениями непрерывной функции, между ними будет произлежать бесконечно большое количество промежуточных значений. Это тоже есть признак именно непрерывной функции, ведь разрывная функция этим свойством похвастаться уже не может. Удивительно, как в конечном может быть сокрыто и бесконечно большое, и вместе с ним бесконечно малое, но вот, мы увидели это воочию.

Когда мы берём два значения функции и соответствующие им значения аргумента, мы можем определить разность значений функции как её приращение, а соответствующую ему разность аргументов — как приращение аргумента. Собственно, в этом именно и заключается великий смысл понятия приращения. Особое место в математическом анализе занимают бесконечно малые приращения функций и соответствующие им бесконечно малые приращения аргументов.

Разобравшись с тем, что такое бесконечно малые, мы можем перейти к рассмотрению метрики пространств, отличных от евклидовых, и начнём со сферического пространства в случае постоянного радиуса (то есть, как вариант, поверхности Земли (в очень грубом приближении), которая, как мы знаем, не плоская). Для этого удобнее будет использовать не привычные нам декартовы координаты (х, у, z), а сферические — (R, θ, ϕ), где:

Собственно, метрика такого пространства будет выглядеть так:

Это значит, что кривизна такого пространства зависит от широты, но не зависит от долготы. Действительно, ведь на глобусе наглядно видно, что при любом значении долготы кривизна соответствующего меридиана точно такая же, как и всех других, в то время как радиус кривизны параллелей от широты зависит.

В декартовых координатах эта же метрика выглядит следующим образом:

Интервал в таком пространстве будет выглядеть как:

Для пространства-времени Минковского (псевдоевклидова, то есть имеющего евклидово (плоское) подпространство в координатах x, y, z), которое описывается в СТО, для любой точки пространства метрика будет выглядеть так:

Интервал в нём вычисляется по формуле:

Разобравшись с метрическими тензорами, мы переходим к операции преобразования координат. Но для этого нам потребуется понятие производной: отношению бесконечно малого приращения функции к соответствующему ему бесконечно малому приращению аргумента. Сами эти бесконечно малые приращения функции и её аргумента носят при этом название дифференциала. Вроде бы интуитивно понятная ситуация, в которой примечательно, однако, то, что мы получаем конечную величину, деля две бесконечно малые величины друг на друга — ситуация, которой в элементарной математике, вообще говоря, не встречается: там на ноль делить нельзя. В высшей математике мы научаемся этот запрет обходить: деля ноль на ноль, мы получаем неопределённость, то есть мы не знаем, что получается, пока эту неопределённость не раскроем. А раскрываем мы её как раз-таки через пределы. Геометрический смысл производной — тангенс угла наклона касательной к графику функции, это изображено на рисунке ниже:

Физический же смысл производной можно выразить следующим образом: если положение одной точки относительно другой выразить в виде основной функции (радиус-вектор 𝑟⃗(𝑡)), то роль её производной по [аргументу] времени сыграет скорость этой же точки относительно второй (r'(𝑡) = 𝑣⃗(𝑡)), а роль производной от скорости, соответственно, — ускорение: v'(𝑡) = 𝑎⃗ = r''(𝑡). Точно так же и с любыми другими физическими величинами, зависящими от других, что означает, что от первой величины можно взять производную по второй. Описанная нами операция называется дифференцированием функции. Применяя её, мы находим производную этой функции, смысл которой состоит в том, что она показывает скорость изменения изначальной функции относительно изменения её аргумента при данном значении последнего.

Кроме того, необходимо усвоить понятие частной производной: если мы имеем дело с функцией нескольких переменных, мы можем взять от неё производную по одной переменной, зафиксировав при этом остальные. Выглядит это следующим образом:

Это означает, что от функции двух переменных f(x,y) мы берём частную производную по переменной x, предполагая значение переменной y строго постоянным.

Теперь мы можем перейти в неинерциальную систему отсчёта по закону преобразования координат: {𝑡,𝑥,𝑦,𝑧}=𝑥𝑖({𝑥i,i=1,2,3,4}), где в фигурных скобках записаны совокупности координат, участвующих в преобразовании от одной системы отсчёта к другой. Общая форма записи интервала одинакова в обеих системах отсчёта, однако в каждой из них фигурирует свой собственный метрический тензор:

Согласно принципу эквивалентности, как уже указано выше, силы гравитации в определённом смысле эквивалентны силам инерции, а значит, в систему отсчёта, где действует гравитационное поле, мы переходим аналогичным образом. Но от сил инерции мы можем избавиться, просто преобразовав нужным образом координаты и перейдя в ИСО, а силы гравитации объективны и от преобразований координат не зависят. Таким образом, ОТО приходит к выводу, что гравитация искривляет пространство. Как именно это происходит, описывается уравнениями Эйнштейна, которые будут приведены далее по тексту.

Покажем теперь, что линейные размеры и собственное время в ОТО зависит от гравитационного поля. Как мы уже указывали выше, система отсчёта в ОТО представляет собой сплошную непрерывную среду, каждая точка которой совершает движение, не зависящее от других точек, и имеет связанные с собой произвольно движущиеся часы. События в ней задаются четырёхвектором 𝑥𝑖={𝑐𝑡,𝑥,𝑦,𝑧}. Время и интервал между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке (x, y, z = const), связаны соотношением ds=cdt. Тот же интервал, согласно общему выражению, равен:

Подставив первое выражение во второе, получим:

Как мы с вами помним из вышенаписанного, g11 есть временная компонента метрического тензора и она зависит в гравитационном поле от координат. Соответственно этому факту, под действием гравитационного поля изменится и собственное время в каждой из точек пространства.

Теперь посмотрим, как в ОТО измеряются пространственные промежутки. Всё очень просто: запускаем световой луч, отсчитываем полное время, за которое он сначала дойдёт до нужной нам точки, а затем вернётся обратно, делим его пополам, умножаем на скорость света и вуаля:

Связь изменения координаты x1 с разностью координат рассматриваемых нами точек определяется тем, что интервал между событиями, связанными с распространением луча света, всегда равен нулю (этот принцип именно и был основополагающим для определения метрики пространства Минковского):

Итак, уравнение, которое мы получили, является излишним для того, чтобы просто найти бесконечно малое расстояние между двумя точками, но оно необходимо для того, чтобы выразить оное в пространственных координатах. Это уравнение имеет вид квадратного относительно dx1 и имеет два решения:

Первое из которых отвечает за распространение света от первой точки ко второй, другое — в обратном направлении. Изменение координаты x1 с момента испускания луча света до момента его возвращения обратно, таким образом, получается путём вычитания первого из второго:

Тогда приращение длины будет равно:

где 𝛾𝛼𝛽 — пространственный минор (внутренний составляющий тензор меньшей размерности) метрического тензора 𝑔𝛼𝛽, описывающий трёхмерную пространственную метрику.

Как мы уже отмечали, метрический тензор в каждой точке пространства в общем случае зависит от времени, поэтому мы можем определить лишь бесконечно малые расстояния. Пространственный интервал между двумя произвольно взятыми точками зависит от того, по какой мировой линии мы произведём суммирование бесконечно малых приращений, его составляющих (интегрирование). Только если метрический тензор не зависит от времени, расстояние может быть определено в конечной области пространства. Кроме того, если компоненты метрического тензора не зависят от координат, мы можем не учитывать при интегрировании конкретный вид мировой линии — результат будет зависеть только от начальной и конечной точек.

Весьма любопытны те следствия, к которым приводит нас искривление пространства в ОТО, но это ещё не всё. Оказывается, мы в общем случае не можем синхронизировать часы в конечной области пространства! Синхронизировать время можно лишь по незамкнутой линии. Достигается это, опять же, при помощи светового луча: половину промежутка времени, требуемого световому лучу, чтобы прийти из одной точки в другую и вернуться обратно, мы ставим в соответствие моменту его прибытия во вторую точку:

По замкнутой же линии, охватывающей произвольную область, равно как и внутри этой самой области, синхронизировать часы мы не можем, т.к. компоненты 𝑔1𝛼 не равны нулю, а значит, не равен нулю интеграл:

Но самое интересное, что к такому результату приводит именно произвольность выбора системы отсчёта, т.к. всегда можно выбрать такую, где 𝑔1𝛼 будут равны нулю и синхронизация часов в области будет возможна.

Если у Вас уже возникают затруднения при попытке понять излагаемый материал, можете на первый раз пропустить данную часть текста (до конца курсива). Впрочем, для полного понимания ОТО недостаточно даже узнать абсолютно все знакомые буквы в данной статье. Лучше обратиться к дополнительной литературе. А поэтому, по желанию, можно для начала ограничиться только русскими словами, прочитав «по диагонали». После публикации второй и третьей статьи данного цикла можно начинать чтение сразу с них и лишь затем переходить к данной статье. Для читателя же, более искушённого в математике, отметим, что некоторые записанные нами выше выражения правильно записывать несколько по-другому

Индексы вверху в правой части уравнений обозначают не операцию возведения в степень, а контравариантность обозначаемых ими компонент тензора, тогда как нижние индексы обозначают их ковариантность. Контравариантность компоненты тензора означает, что в ходе преобразования координат, данная компонента преобразуется обратно ему, а ковариантность — что компонента преобразуется аналогично преобразованию координат. Пример контравариантной величины — любой действительный вектор, например, силы или скорости; пример ковариантной — изменение (производная) не имеющей направления (скалярной) величины по направлению (градиент).

Понятиями ковариантности и контравариантности мы в принципе могли пренебречь, рассматривая наиболее общие основы ОТО, однако теперь, когда мы переходим к понятию движения материальной точки в гравитационном поле, пренебречь ими мы более не можем.

Для того, чтобы мы могли рассмотреть данное движение, нам необходимо ввести понятие связности пространства. Это нужно, чтобы дополнить частную производную (скорость изменения искомой величины при изменении заданной и неизменности всех остальных) тензорной величины, которая (производная, то есть) сама по себе тензором уже не является (т.к. в ходе преобразования координат она не ведёт себя как тензор), до, собственно, тензора. Такой результат достигается введением коэффициентов связности — символов Кристоффеля Г𝑖𝑗𝑘, определяемый в общем случае из следующей формулы:

Про смысл символов Кристоффеля можно почитать, например, в Википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Символы_Кристоффеля

В неискривлённом пространстве все компоненты символа Кристоффеля равны нулю. Это значит, что в нём частная производная от тензорных величин также является тензором. В общем же случае символы Кристоффеля представляют собой трёхмерные массивы чисел, имеющие 2 ковариантных и 1 контравариантный индексы и не являющиеся тензорами в строгом смысле этого слова {1}.

Движение частицы в гравитационном поле в ОТО есть свободное движение в искривлённом пространстве-времени. Траектория такого движения совпадает с уравнением, задающим геодезическую линию в данном пространстве-времени.

Умножив обе части этого уравнения на mc, получим уравнение движения для частицы в гравитационном поле {2}:

Наконец мы переходим к основному содержанию ОТО — уравнениям Эйнштейна. Они имеют вид:

Уравнения Эйнштейна связывают геометрические свойства пространства-времени (левая часть уравнения) с динамикой материи, создающей гравитационное поле. Суть уравнений Эйнштейна можно сформулировать таким образом: пространство-время «указывает» материи как ей двигаться, а материя «указывает» пространству-времени как ему «искривляться». В частности, из уравнений Эйнштейна следует, что принцип суперпозиции полей в случае гравитационного поля не работает. Это значит, что гравитационное поле, создаваемое системой тел, не равно сумме полей, создаваемых каждым отдельным телом. Кроме того, уравнения Эйнштейна имеют, помимо прочих, решения, соответствующие таким объектам, как чёрные дыры.

Особое внимание в уравнениях Эйнштейна стоит уделить космологической постоянной, также известной как лямбда-член. Эта постоянная содержит информацию о свойствах физического вакуума, заполняющего космическое пространство.

Это уравнение означает, что гравитационное поле, помимо той его составляющей, которая создаётся массивными телами, имеет ещё одну, независимую от них и определяемую через лямбда-член:

Приведём готовое решение этого уравнения и силу, которую вызывает полученное таким образом поле:

Окончательное определение лямбда-члена в конце концов получается путём эмпирического исследования фигурирующей в левой части последнего уравнения силы. Если космологическая постоянная больше 0, это будет сила отталкивания, а если меньше 0 — сила притяжения, причём в обоих случаях она будет линейно возрастать при увеличении расстояния. Именно поэтому, кстати, лямбда-член и был назван космологической постоянной.

Рассмотрим космологическую постоянную как параметр сплошной среды, отождествляемой с физическим вакуумом и имеющей следующее уравнение состояния:

Т.е. эта среда имеет отрицательное давление и подобна растянутой упругой среде. Мы можем формально отождествить постоянную составляющую уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой среды (мы это можем сделать потому что поле, определяемое через эту среду, с расстоянием не убывает, а напротив, возрастает):

Наконец составим систему уравнений для нахождения космологической постоянной:

из которой находим:

Из полученных выражений выходят следующие свойства космического вакуума: плотность энергии постоянна и положительна, его свойства определяются космологической постоянной, имеющей глобально неизменное значение. Это значит, что вакуум — неизменяемая среда, которая воздействует на вещество и геометрию пространства-времени, но при этом сама не подвержена никаким влияниям. В этой среде не работает третий закон Ньютона, утверждающий равенство силы действия и силы противодействия. Движение и покой относительно вакуума неразличимы. Такими свойствами космический вакуум наделён, исходя из ОТО.

В физике имеет место быть красное смещение трёх видов: доплеровское, гравитационное и космологическое. Доплеровское смещение объясняется, очевидно, эффектом Доплера — взаимным движением источника и приёмника электромагнитных волн. Эффектами ОТО, а именно, воздействием гравитационного поля на электромагнитную волну, вызывающим снижение её частоты по мере удаления волны от тяготеющего тела, объясняется гравитационное красное смещение. Космологическое красное смещение происходит в силу расширения Вселенной. Несмотря на разную природу, во всех трёх случаях красное смещение внешне проявляется одинаковым образом. Обратное явление — уменьшение наблюдаемой длины волны, имеющее ту же природу, — называется синим смещением.

Наблюдение красных смещений широко используется в астрономии, т.к. позволяет получать информацию о движении небесных тел и других их свойствах. Особенно важны красные смещения для космологии.

Американский астроном Эдвин Хаббл занимался проблемой красного смещения. Он открыл закон, согласно которому величина красного смещения возрастает пропорционально удалению галактик от точки наблюдения.

Общая теория относительности подтверждается многочисленными экспериментами, в число которых входит наблюдение красного смещения спектральных линий [2], отклонения световых лучей гравитационным полем [3], смещения перигелия Меркурия [4] и поведения пульсаров [5], а также эксперименты на спутниках [6], [7] и наземных лабораториях [8],[9].

Факт существования уже обнаруженных на данный момент чёрных дыр предсказан также ОТО.

В ходе наблюдения пульсаров было выявлено следующее:

- Потеря энергии в двойной звёздной системе за счёт излучения гравитационных волн. Факт потери энергии выражается в сокращении расстояния между компонентами этой системы.

- Зарегистрировано смещение периастра (аналог перигелия для пульсаров) на величину, в тысячи раз превышающую смещение перигелия Меркурия.

- При сближении компонентов двойной звезды, период их обращения, вместо того, чтобы сокращаться по закону сохранения момента импульса, напротив, возрастает вследствие гравитационного замедления времени.

- Сигнал от одного пульсара, проходя вблизи другого пульсара, в дальнейшем проходит с задержкой.

- Ось, вокруг которой вращаются двойные звёзды, испытывает прецессию, вызванную вращением самих компонентов вокруг своей оси.

Среди спутниковых экспериментов можно отметить опыт по лазерной дальнометрии Луны и эксперименты на искусственном спутнике Сатурна миссии Кассини-Гюйгенса, в ходе которых происходит измерение гравитационной постоянной и параметров ППН; а также спутниками Gravity Probe A и Gravity Probe B, исследующие эффекты Лензе—Тирринга и де Ситтера, связанных с появлением дополнительных ускорений вблизи массивных вращающихся тел, взаимодействием самих таких тел друг с другом, а также с прецессией вращающихся тел в гравитационном поле.

Среди наземных экспериментов можно отметить проверку равенства инертной и гравитационной масс, универсальность свободного падения, постоянства и изотропии скорости света и закона обратных квадратов на малых расстояниях.

В ОТО отсутствует понятие привилегированной системы отсчёта и связанных с ней эффектов. Это находит своё выражение в том, что в таблице параметров ППН (Параметризированный Постньютоновский Формализм), составляемой для оценки различных теорий гравитации, соответствующие параметры принимают нулевое значение.

В рамках ОТО имеется ряд неразрешённых проблем, среди которых можно отметить космологические проблемы, в число которых входит проблема «тёмной» материи и энергии, связанная с аномальным ускоренным расширением Вселенной и вращением вещества на периферии галактик; проблема начальной сингулярности и будущего Вселенной. Кроме того, следует отметить аномалию «Пионеров», демонстрирующую наличие дополнительного ускорения неустановленной природы; аномалию сближения, демонстрирующую аномальное изменение скорости космических аппаратов в результате гравитационных манёвров; проблему чёрных дыр, демонстрирующей незнание судьбы информации, поглощённой чёрной дырой, в случае испарения последней; проблему космической цензуры и причинности, выражающуюся в отсутствии аналитического доказательства невозможности существования «голых сингулярностей», которое противоречит здравому смыслу; наконец, проблему противоречия ОТО квантовой механике.

В этом разделе мы приведём сведения, предназначенные для наиболее искушённого в предмете статьи читателя.

1. Тензор кручения.

Тем не менее, можно составить полноценный тензор из двух символов Кристоффеля, взятых так, что их ковариантные индексы меняются местами относительно друг друга, а контравариантный индекс остаётся неизменным:

Полученный таким образом тензор называется тензором кручения. Когда все его компоненты равны нулю, говорят, что пространство имеет симметричную связность. В пространстве, рассматриваемом в ОТО, тензор кручения равен нулю. Это доказывается тем, что по принципу эквивалентности инерции и гравитации, всегда можно подобрать такую систему отсчёта, в которой эти силы компенсируют друг друга, а пространство будет локально плоским (т.е. в данной точке его кривизна будет равна нулю), и коэффициенты связности обратятся в нуль, а значит – нулю будет равен и тензор кручения; а истинные тензоры, к которым оный относится, имеют свойство обращаться в нуль в любой системе координат, если они равны нулю хотя бы в одной.

2. 4-вектор импульса в ОТО.

4-вектор импульса в ОТО выглядит так:

Выразим через него уравнение свободного движения в искривлённом пространстве-времени:

Последняя величина имеет смысл 4-силы, действующей на частицу со стороны поля. Таким образом, величины символа Кристоффеля играют роль силовой характеристики (напряжённости) поля. А так как они же выражаются через производные от метрического тензора, получается, что компоненты последнего суть потенциалы гравитационного поля.

Настало время вспомнить об уже знакомом нам принципе эквивалентности, по которому мы можем в любой точке пространства выбрать такую систему координат, в которой действие гравитационного поля будет локально (в этой же самой точке) исключено. Это выразится в том, что в нуль обратятся символы Кристоффеля, а значит, и 4-вектор силы.

Приравняв между собой классическое и релятивистское выражения для действия, мы можем получить первое приближение гравитационного поля для классического случая:

Где учтено, что:

Ну а последнее равенство записано с учётом слабости гравитационного поля:

Приближённый метрический тензор таким образом выглядит так:

Таким образом мы видим, что в приближении слабого гравитационного поля, оное проявляется в первую очередь в диагональных компонентах метрического тензора, в которых каждая координата сопоставлена сама с собой.

Продолжение следует…