Вычисление гравитации в центре шарового тела

К написанию этой статьи меня подвигло следующее обстоятельство.

Я ознакомился с 5-ой главой двухтомника «Физика» для вузов американского физика Дж. Орира где он, как мне кажется буквально на пальцах с примене-нием простейших геометрических соображений доказывает, что силы гравии-тации внутри полой сферической оболочки равны 0, а внутри твердого шара поле возрастает линейно по мере перехода от центра шара к его поверхности. Мне показалось, что более убедительно это сделать через тройной интеграл по всему объему, тем более что интегралы не такие уж сложные. Я провел вычи-сления для трех случаев:
1. для нахождения силы гравитации в центре шара,
2. для нахождения силы гравитации внутри полой сферической оболочки,
3. для нахождения закона изменения гравитации внутри шара.

В результате в первом и втором случае 0 не получился. В третьем случае не получился линейный закон распределения внутри шара.

Как дополнительная информация: я узнал из авторитетных научных источ-ников, что специалисты, занимающиеся гравитацией не применяют методы интегрирования, а используют Лапласиан.

Я привожу здесь расчет силы гравитации в центре шара как наиболее наг-лядный и простой для вычисления и где из физических соображений понятно, что суммарная сила в центре шара равна 0.

Смысл моих вычислений: спроектировать все гравитационные силы на ось Z с учетом направления сил и вычислить равнодействующую центре шара точке О. Она должна быть равна 0. Вычисления ведутся в цилиндрических коорди-натах относительно оси Z. Угол α измеряется относительно оси Z. См. рис. 1.

Пусть в точке 0 сосредоточена какая-то пробная масса m. Тогда элементар-ная гравитационная сила взаимодействия данной массы с любой малой массой dM сферы будет dF=G×m×dM/ρ², G - гравитационная постоянная, а ρ – расстояние между выделенными массами. dM = dV×γ, dV – элементарный объем, а γ – плот-ность вещества. ρ² = z²+r² (см. рис.1) , dV = r×α×dr×dz в цилиндрических координа-тах. Отсюда dF=G×m×γ×r×α×dr×dz/(z²+r²) Спроектируем эту силу на ось Z, тогда учитывая что проекция силы направлена против оси Z получим:

dFz = -[G×m×γ×r×α×dr×dz/(z²+r²)]cosβ. cosβ – в первом и четвертом квадрантах положи-тельный, а во втором и третьем квадрантах отрицательный, т. е. он отражает изменение знака силы в этих квадрантах.

Далее

отсюда

Для нахождения равнодействующей составим интеграл по всему объему шара получим:

Для упрощения вычисления отбро-сим вынесенные за интеграл постоянные. Сейчас нам важно найти обратится ли подинтегральное выражение в 0. Проинтегрируем оставшиеся интегралы

Как видим интеграл не обращается в 0. Попробуем вычислить интеграл отдельно для левой и правой части. Вычисляем интеграл для левой полусферы.

также отбросим вынесенные за интеграл постоянные и вычислим оставшееся выражение.

Что мы видим в итоге – сумма двух интегралов как и первом случае равна -2R, то есть не равна 0 как должна быть. Далее равнодействующая все сил в правой полусфере отрицательная как и должно быть, а равнодействующая всех сил в левой полусфере также отрицательная, чего не должно быть по логике. Ну что у кого какие мысли, где совершены и какие ошибки при вычислении данных интегралов.

У автора есть мысль что надо сделать чтобы получить 0, но пока я не могу доказать корректность таких действий. Рассчитываю на вашу помощь и групповой разум. Присылайте ваши даже может быть самые немыслимые соображения я буду рад с ними ознакомиться.

Автор: Борис Кукушкин

👨‍💻 Канал для физиков, математиков и разработчиков: t.me/physics_lib
💡 Заметки по физ-мату и IT: t.me/mentor_it
👾 Канал по хакингу и информационной безопасности: t.me/epsilon_h
🎞 Научные видео и учебные фильмы: t.me/maths_lib
⚙ Эстетика технологий различных времен: t.me/tech_pac
🧪 Канал для любителей химии, биологии и медицины: t.me/chemistry_lib
🎲 Резервная группа в VK : vk.com/itmentor
🗣 Беседа в VK: https://vk.cc/cjQwuG