А. П. Савин — Математические миниатюры. Часть 1

О числах и счёте. Большие числа

Однажды мне довелось присутствовать на школьном вечере вопросов и ответов под названием «А кто самый...?» Много было разных вопросов: «У кого самый длинный хвост?», «Какая звезда самая близкая к Земле?» Но вот одна девочка спросила:

— А какое число самое большое?

Вместо ответа я предложил сыграть в такую игру:

— Вот конфета, — сказал я. — Кто назовёт большее число, тот получает конфету.

— Сто тысяч миллионов, — выпалила девочка.

— Нет такого названия, — воспротивился я.

— Нет есть, — настаивала девочка.

— Ладно, тогда я называю двести тысяч миллионов. Сыграем ещё?

Остальные ребята зашумели, начали говорить, перебивая друг друга.

— Тихо! — сказал я. — Давайте по очереди, а то ничего нельзя понять.

Из десятка ребят, тут же поднявших руку, я выбрал невысокого мальчика в очках.

— Игра нечестная, — сказал он, — какое бы число ни назвала Маша, вы назовёте число на единицу больше и выиграете. И вообще, нет наибольшего числа — к любому числу единичку можно прибавить.

Маша внимательно слушала, а потом спросила:

— А как называются числа больше миллиона?

Судя по лицам ребят, этот вопрос заинтересовал многих. Я стал рассказывать:

— В пределах первой тысячи, как вы знаете, название имеет единица каждого разряда: единица, десять, сто, тысяча. Следующие единицы, имеющие собственное название, идут через каждые три разряда, то есть каждая очередная именованная единица содержит тысячу предыдущих именованных единиц: 1 000 000 — миллион; 1 000 000 000 — миллиард, или биллион; 1 000 000 000 000 — триллион; 1 000 000 000 000 000 — квадраллион; далее идут квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион, дециллион.

Принцип построения названия несложен. По-латыни слова «би», «трес», «квадра», «квинта» соответственно означают два, три, четыре, пять и так далее. Таким образом, троек нулей в записи числа на одну больше, чем латинское число в его названии.

Нужно сказать, что эти названия почти не используются. Астрономы, физики и другие специалисты, имеющие дело с большими числами, предпочитают записывать их с помощью степеней числа 10. Так, число 460 000 000 физик запишет либо как 46 × 10⁷, либо, что чаще, как 4,6 × 10⁸. Он не скажет, что оно равно четырёмстам шестидесяти миллионам, а назовёт его иначе: четыре и шесть десятых на десять в восьмой степени.

— А что делать, если на конце не будет нулей? — спросил один из мальчиков.

— Дело в том, — сказал я, — что при физических и других измерениях, как правило, верными бывают только первые две-три цифры. Чтобы получить большее количество верных знаков для какого-то числа, например, массы планеты или расстояния до неё, требуется применять особые методы и специальные, очень точные приборы. Поэтому в больших числах, получаемых при эксперименте, обычно оставляют лишь первые две-три цифры, а остальные заменяют нулями.

— А с каким самым большим числом приходилось иметь дело на практике? — раздался вопрос с последнего ряда.

— Такое число можно даже назвать, — ответил я. — Физики считают, что во всей Вселенной количество элементарных частиц, из которых состоят атомы находящегося в ней вещества, не больше, чем 10⁸⁸. Поэтому практической необходимости пользоваться числами, большими, чем 10¹ºº, нет. Для этого числа придумано специальное название — гугол. Кажется, невозможно представить себе такую громадину. Но всё-таки попробуем.

Представьте себе табло из четырёхсот лампочек, расположенных в виде квадрата 20×20. Представить его легко, подобные табло встречаются в аэропортах и на вокзалах — с помощью загорающихся лампочек высвечиваются объявления о прибытии и отправлении самолётов или поездов. А теперь подумаем, сколько разных способов существует, чтобы зажечь табло с таким расположением лампочек.

Начнём считать количество состояний нашего табло. Для порядка пронумеруем лампочки числами от единицы до четырёхсот. Первая лампочка может быть в двух состояниях: потушенной и зажжённой. Две лампочки могут быть уже в четырёх состояниях. Если использовать для обозначения потушенной лампочки значок 0, а для зажжённой — значок +, то эти четыре состояния можно перечислить: 00, +0, 0+, +. Для трёх лампочек будет уже восемь состояний: 000, +00, 0+0, +0, 00+, +0+, 0+, +. Количество состояний удвоилось потому, что оно равно количеству состояний для первых двух лампочек при потушенной третьей лампочке плюс то же самое количество состояний при зажжённой третьей. Нетрудно заметить, что при добавлении четвёртой лампочки количество состояний вновь удвоится и станет равным 2⁴ = 16, при пяти лампочках количество состояний будет 2⁵ = 32, при десяти — уже 2¹º = 1024, а при 400 лампочках — 2⁴ºº. Покажем, что это число больше гугола. Обратим внимание, что 2¹º = 1024 > 10³, поэтому 2⁴ºº = 2¹º˟⁴º > 10¹²º. Итак, с помощью нашего нехитрого табло мы смогли превзойти гугол.

Сколько же времени понадобится для того, чтобы реализовать все имеющиеся возможности? Пусть у нас есть электронное реле, которое меняет состояние табло со скоростью 100 раз в секунду. Поскольку в каждом часе 3 600 секунд, в сутках 86 400 секунд, а в году 31 536 000 секунд, то за год табло успеет сделать 3 153 600 000 миганий, или 3,1536 × 10⁹. Разделив 10¹²º на это число, получим около 3 × 10¹¹º лет — число, в миллиарды раз большее гугола. Вот так табло!

Может быть, мы сделали великое открытие в науке? К сожалению, нет. То, что количество состояний системы во много раз превосходит количество её элементов, люди поняли очень давно. И очень часто трудно бывает из всего многообразия вариантов выбрать лучший. Например, где разместить заводы по производству какого-то нового типа изделий? Какие мощности выбрать для этих заводов? Если построить несколько крупных заводов, то стоимость производства будет невелика, зато изделия придётся далеко возить. Если же построить много небольших заводов, то возить изделия придётся меньше, но стоимость изготовления изделий на таких предприятиях возрастёт. Чтобы решать подобные задачи, непрерывно работают тысячи электронных вычислительных машин, перебирающих тысячи вариантов в секунду.

— А можно ещё вопрос? — поднял руку мальчик в очках.

— Да, пожалуйста.

— Но математикам, наверное, приходится оперировать ещё большими числами?

— Те, кто думает, что математики только то и делают, что складывают, умножают и делят, очень далеки от истины. Лишь в одной её области — теории чисел — учёные часто имеют дело с конкретными числами. И здесь действительно существуют очень большие числа. Например, долгое время шло соревнование — кто назовёт большее простое число. Простое — значит имеющее лишь два различных делителя: себя и единицу. Потом стали искать лишь такие простые числа, которые имеют вид: 2ⁿ — 1. Эти числа называются простыми числами Мерсенна, в честь французского учёного Марена Мерсенна, математика, акустика, теоретика музыки, одного из основателей Парижской академии наук. Эти числа интересны тем, что если число 2ⁿ — 1 простое, то число 2ⁿ⁻¹ (2ⁿ — 1) равно сумме всех своих делителей, кроме самого числа. Такие числа древние греки называли совершенными. Укажем три первых совершенных числа:

6 = 2 × 3 = 2 (2² — 1) = 1 + 2 + 3;

28 = 2² × 7 = 2² (2³ — 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

496 = 2⁴ × 31 = 2⁴ (2⁵ — 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Интересно, что число 2ⁿ—1 будет простым только в том случае, если число n — простое. К концу прошлого века было известно двенадцать простых чисел Мерсенна: для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127. Для n = 127 простое число Мерсенна равно... — Тут я достал из кармана записную книжку и на доске переписал: 1 701 411 834 604 692 311 731 687 303 715 884 105 727. — Это число всё же меньше гугола, — продолжил я. — Но теперь за дело взялись электронные вычислительные машины. Они нашли, что числа 2ⁿ — 1 будут простыми при n = 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11 231, 44 497.

Последнее число 2⁴⁴⁴⁹⁷—1 имеет уже более тринадцати тысяч цифр. Заметим, что гугол имеет «всего» сто цифр.

Вопросов в тот вечер было много: «Какая ЭВМ считает быстрее всех?», «Какой зверь бегает быстрее всех?», «У кого самый длинный хвост?»

Вопросов было задано много, однако далее я расскажу о цифрах.

Продолжение следует…

Источник: https://www.mathedu.ru/text/savin_matematicheskie_miniatyury_1998/p10/