А. П. Савин — Математические миниатюры. Часть 2

О числах и счёте. Десять цифр

Грамотность начинается с умения писать и считать. Уже в три-четыре года, поднимаясь по лестнице, мы уверенно считаем ступеньки: «Раз, два, три, четыре, пять...» А в первом классе пишем в тетради цифры:

Эти цифры называются арабскими, хотя арабы лишь передали в Европу индийскую десятичную систему счисления с её цифрами. Об этом мы читаем в «Книге об абаке» одного из первых математиков эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, получившего прозвище Фибоначчи:

«Девять индусских знаков следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски "сифр", можно написать какое угодно число».

Фибоначчи, издавший свою книгу в 1202 году, многое почерпнул из знакомства с математическими трудами арабов. Любопытно, что сам порядок цифр при их перечислении — 9, 8, 7,... — отражает их заимствование у арабов, поскольку арабы пишут справа налево, а не слева направо.

Наверное, вы уже поняли, что слово «цифра» произошло от названия нуля у арабов, а в России ещё очень долго слово «цифра» означало значок нуля. Вот что говорится в «Арифметике» Магницкого 1703 года издания:

«Нумерация есть счёт или способ представлять совершенно все числа с помощью десяти знаков, которые изображаются так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять — значащие, а последний же 0 (который цифрой или ничем именуется) сам по себе ничего не значит».

Обратите внимание, что буквы в старинном тексте ещё сильно отличаются от современных, а цифры — те же, что и в ваших учебниках. Но, конечно же, они не сразу стали такими. Вот как они выглядели в Индии в 200 году:

Тогда не было ещё нуля и позиционной записи чисел, но со временем написание цифр совершенствовалось, причём по-разному в разных местностях Индии. Появился нуль — и возникла позиционная система записи чисел. Арабы выбрали из этих различных видов цифр наиболее удачные. От них цифры продолжили свой путь по Земле. Вот в каком виде они публикуются у римского писателя Боэтия (600 год):

В 1350 году в сочинениях греческого монаха Максима Плануда мы видим их такими:

В 1480 году в книге «Зеркало Вселенной» англичанина Какстона они изображаются следующим образом:

И лишь в 1522 году в книге итальянца Тонсталля приобретают более-менее современный вид:

Любопытно, что в самой Индии цифры тоже видоизменялись и к началу XX века стали выглядеть так:

Хотя в XVI веке в Европе уже было развито книгопечатание, цифры в книгах того времени, как мы видим, очень похожи на рукописные. Многие художники работали над созданием разнообразных типографских шрифтов — формой букв и цифр, стараясь придать им красивый вид (при этом каждый знак должен был достаточно сильно отличаться от другого). Вот один из цифровых шрифтов:

Но история цифр на этом не кончается. Недавно в ряде стран стали использовать следующую запись:

Чем эти цифры лучше обычных? А тем, что у чётных цифр «хвостики» идут вверх, а у нечётных — вниз. Теперь уже труднее спутать, скажем, цифры 2 и 5. Правда, это нововведение широко не привилось, но приведённое ниже начертание цифр знакомо каждому из вас:

Подобные цифры мы видим на микрокалькуляторах и ручных электронных часах. С помощью набора семи отрезков удаётся изобразить каждую из десяти цифр.

Ещё одно изображение цифр, связанное с потребностями техники, мы находим на обороте почтового конверта:

Здесь в написании цифры участвуют уже девять отрезков. Эти цифры предназначены для электронной машины, сортирующей корреспонденцию. Жирные чёрточки над индексом на конверте нужны для того, чтобы машина смогла точно настроиться на написанный нами индекс:

Если мы заговорили об электронных машинах, отметим, что хотя они получают числа в десятичной записи и в том же виде выдают нам результаты вычислений, но для «внутренних нужд» пользуются двоичной системой счисления. На перфоленте, используемой в ЭВМ для хранения и передачи информации, первые девять цифр выглядят так:

Цифре 0 соответствует пробел. Маленькие пробитые точки посередине перфоленты служат для её перемещения и фиксации.

Тем, кто не знаком с двоичной системой счисления, сообщим, что она, как и десятичная система, является позиционной: значение величины числа зависит от входящих цифр и их мест в написании числа. И если в десятичной системе десять единиц предыдущего разряда составляют единицу следующего разряда, то в двоичной системе единицу следующего разряда составляют две единицы предыдущего. Поэтому для записи чисел в двоичной системе достаточно всего двух цифр — 0 и 1:

1 = 1₂

2 = 10₂

3 = 11₂

4 = 100₂

5 = 101₂

6 = 110₂

(Маленькая цифра 2 около числа означает, что запись произведена в двоичной системе счисления).

Сравнив эти записи с перфолентой, вы увидите, что пробой на перфоленте соответствует цифре 1, а его отсутствие — цифре 0.

Машина читает запись на перфоленте с помощью фотоэлементов: они отмечают пробитые отверстия, регистрируя свет, проникающий через отверстия, а в непробитых участках лента загораживает фотоэлемент от источника света.

Похожий принцип заложен и в основу так называемого полосного кода.

Многие из вас, вероятно, обращали внимание на полосатый прямоугольник, встречающийся на разнообразных товарах:

Что означают эти полоски? Оказывается, с их помощью записано расположенное внизу число — код товара. Компьютер, находящийся в кассовом аппарате, с помощью фотоэлементов считывает код. Для этого либо проводят табличку с кодом в специальном месте кассового аппарата, либо по коду проводят «считывающим карандашом», соединенным с кассовым аппаратом. Таким образом компьютер получает информацию о продаваемом товаре. В соответствии с ней он выдаёт из своей памяти цену, а сам запоминает, что данный экземпляр куплен. В результате всегда известно, сколько какого товара куплено и на какую сумму, какой товар нужно ещё доставить в торговый зал.

Но как устроен полосатый код?

С помощью полосок можно записывать число так, как на перфоленте: тонкая чёрная полоска — 1, тонкая белая полоска — 0. Но представлять число можно по-разному. Можно просто записать его в двоичной системе счисления (например, число 5 762 752 950 запишется в двоичной системе так: 11010111011101001000110110₂). А можно каждую цифру числа записать в двоичной системе — тогда на одну цифру будет достаточно четырёх полосок, а затем представить число набором получившихся полосок.

В таблице, приведённой чуть ниже, каждая цифра записывается также отдельно, но не в двоичной системе, а по-другому. Каждой цифре соответствует семь значков 0 и 1. Код состоит из двух частей — левой и правой, — и цифры в левой и в правой частях записываются в соответствии со следующей таблицей:

Посмотрим сначала на левую часть таблицы. Запись каждого числа начинается с 0 и заканчивается 1. Эти знаки не характеризуют числа, а служат для отделения одного числа от другого. На само число приходится пять знаков, и они выбраны так, чтобы любые два числа различались не менее чем в двух местах. Запись чисел в правой части таблицы симметрична записи слева, а именно: вместо цифры 0 на соответствующем месте стоит цифра 1, а вместо 1 стоит 0.

На рисунке каждой цифре соответствует описанная комбинация из семи полосок, расположенная над ней. Всё, что мы говорили, относится к коротким полоскам. Первые три длинные полоски, средние и последние полоски (им соответствует набор 101) — это указатели начала, середины и конца шифра. Длинные полоски, следующие за тремя первыми, соответствуют цифре, расположенной сбоку слева, например, цифре 0. Аналогично длинные полоски перед последними тремя полосками соответствуют цифре, расположенной сбоку справа, например, цифре 6.

Эти боковые числа служат для защиты считывания от ошибок. Их значения таковы, чтобы утроенная сумма чисел, стоящих на чётных местах, сложенная вместе с суммой чисел, стоящих на нечётных местах, делилась на 10. Суммирование производится слева направо: считается, что цифра, стоящая сбоку слева, находится на нулевом (значит, чётном) месте. В нашем случае 3 (0 + 7 + 2 + 5 + 9 + 0) + (5 + 6 + 7 + 2 + 5 + 6) = 100.

Если компьютер неправильно прочтёт одну из цифр, то сразу обнаружит ошибку. Он не сможет обнаружить ошибку лишь в том случае, если прочтёт по крайней мере две цифры ошибочно, причём так, чтобы ошибки «скомпенсировались» и полученная сумма снова делилась на десять. Но вероятность этого чрезвычайно мала.

Такая защищённость от ошибок очень важна, иначе за хлеб компьютер мог бы потребовать от покупателя стоимость, скажем, большой коробки шоколадных конфет.

Защита от ошибок заложена и в стандартной форме написания почтового индекса. Любые две цифры отличаются не меньше, чем в пяти местах.

Надо сказать, что программисты ЭВМ в последнее время пишут ноль вот так: Ø.

Дело в том, что в программе ЭВМ буквы и цифры могут довольно произвольно перемежаться. Чтобы отличить нуль от буквы О, и введена запись Ø. Этим сняты возможные ошибки при использовании латинского шрифта. А при использовании русского шрифта возникает возможность спутать букву 3 с цифрой 3, а букву Ч — с цифрой 4. Может быть, и эти цифры будут изменяться? Посмотрим. Время покажет.

Продолжение следует…

Источник: https://www.mathedu.ru/text/savin_matematicheskie_miniatyury_1998/p12/