Основные вопросы про оформление

1) Можно ли писать "ОДЗ"?

Да. Но если в ОДЗ (область допустимых значений) учтены не все условия или оно найдено с ошибкой, то за задачу сразу 0 баллов. Даже если оно не повлияло на ответ или вообще не использовалось.

2) Можно ли вместо "ОДЗ" писать звездочку или "Должны выполняться условия" и тп? Защитит ли это от 0 баллов в случае пропуска части условий или ошибки в нахождении?

Можно. Какие-то комиссии всё равно могут снизить, но в большинстве случаев это должно защитить от 0 баллов за не полные условия. Однако, это никак не защитит от 0 за ошибки в решении выписанных условий.

3) Если выписаны условия, пересечение которых определяет ОДЗ, то обязательно ли их дальше решать? Или можно оставить прямо так и в нужный момент решения на них сослаться?

В уравнениях можно оставить и не решать, а потом сослаться. Например, в ОДЗ есть условие, что sinX>0. Само множеств можно не выписывать, а некоторые получившиеся в процессе решения серии отбросить с пояснением "не удовлетворяет ОДЗ".
В неравенствах так делать нельзя.

4) Можно ли вообще не находить ОДЗ/звездочку/ДВУ?

Можно. В этом случае надо решать равносильными переходами. Часто это наиболее удобный и логичный способ. Например, дробно-рациональные неравенства или сводящиеся к ним заменой. Например, где после обратной замены получится несколько простейших логарифмических неравенств.

5) Обязательно ли оценивать замену, например, после 2^x=t писать, что t>0?

Не обязательно. Можно всё лишнее отбросить после обратной замены при решении получившихся уравнений/неравенств.

6) Как расписывать решение квадратного уравнения?

Квадратное уравнение можно решать (находить корни квадратного трехчлена, раскладывать его на множители) как удобно, например устно. Но лучше не писать "по теореме Виета", а то могут снизить за то, что для нахождения корней надо использовать обратную теорему Виета.

7) Как отбирать корни в 12 номере?

Отбирать корни в пункте б номера 12 (про тригонометрическое уравнение) можно разными способами. Три наиболее популярных: по окружности, двойными неравенствами, по числовой прямой.

При отборе по окружности надо:
- отметить и подписать на окружности концы промежутка, на котором надо отобрать корни
- выделить дугу, соответствующую этому промежутку
- отметить и подписать попавшие на эту дугу корни
- не надо отмечать и подписывать корни, не попавшие в дугу
- можно подписать вспомогательные точки на дуге (от которых отталкиваетесь, находя корни) - обычно это целые количества пи
- описывать, как были найдены корни не обязательно, но лучше это сделать (например, 3п+п/6=19п/6)

При отборе по прямой обязательно показать один корень до промежутка и один после (например, в промежуток попадают корни при k=3,4,5 - тогда надо показать, что при k=2 и k=6 корни вне промежутка).

8) Можно ли в разных сериях решений тригонометрического уравнения использовать одну букву для целого числа? Везде писать +2пk, например?

Можно, когда эти серии в совокупности (когда их надо объединить).
Нельзя, когда эти серии в системе (когда их надо пересечь).
Например, если у вас в ОДЗ "Х не равен одному/второму/третьему", то эти серии в системе с разными буквами. В ответе всё может быть с одной (всё, что надо было пересечь, пересечено еще в решении).

9) Можно ли объединять/не объединять несколько серий в одну (например, с диаметрально-противоположными точками писать одну с +пk, а не две с +2пk)?

Можно и так и так. Иногда можно и 4 (а то и больше) серий объединить в одну (это удобно для отбора неравенствами, меньше серий отдельно рассматривать). Но если хочется, то можно для каждой точки писать свою серию.

10) Как подписывать оси при отборе по окружности?

Самое простое - не подписывать никак. Самое плохое - подписать Х и У (Х - это координата по окружности, а У в задаче вообще отсутствовал). Я подписываю cosX и sinX. Но снижать не должны в любом случае.

11) Как подписывать ось в методе интервалов?

Никак или той буквой, которая у вас является переменной в решаемом неравенстве. Самое плохое, если решая после замены неравенство с переменной t, подпишите ось буквой Х.

12) При решении однородного тригонометрического уравнения, что писать при делении на косинус/квадрат косинуса?

Можно просто подписать справа после вертикальной черты "| : cosX≠0" и больше ничего не пояснять. Либо, там же подписать дальше "так как иначе sinX=0, а это противоречит ОТТ". Неоднозначные случаи:
Если сразу после уравнения написать серию решений (без промежуточного перехода к тангенсу, например после sinX-cosX=0 написать X=п/4+пk), то скорее всего решение сочтут недостаточно обоснованным и снизят баллы.
Если перейти к тангенсу, но ничего не писать про деление на косинус, то скорее всего решение будет оценено как полностью корректное. Ну лучше не рисковать и так не делать.

13) При записи серии решений тригонометрического уравнения, важно ли, к какому числу прибавлять период? Например, -5п/6+2пк и 7п/6+2пк.

Можно начинать с любой точки. Эти разные записи одной и той же серии, они обе верны.

14) Надо ли пояснять/доказывать метод рационализации?

Нет. Но фразу про "метод рационализации" лучше не писать. Так он не называется ни в одном учебнике. Хотя, сам метод есть (например, в учебнике Пратусевича "Алгебра и начала математического анализа" за 11 класс)

15) Где можно/нельзя ставить знаки на оси при решении неравенства?

Если решается обычным методом интервалов неравенство-следствие (где дробь с многочленами в числителе и знаменателе), то знаки можно ставить везде. И только после этого пересекать с ОДЗ.

Если неравенство решается обобщенным методом интервалов, то знаки можно ставить только там, где это неравенство определено. Иначе, 0 баллов.
Иными словами, знаки на оси относятся только к тому неравенству, которое написано перед этой осью. Если в нём присутствуют всякие логарифмы/корни и тд (то есть, используется обобщенный метод интервалов), то знаки только там, где всё определено. Если это дробно-рациональное неравенство, то знаки везде (оно же везде определено, кроме нулей знаменателя, но они выколоты).

16) Как записывать решение простейшего логарифмического неравенства, вида log_a(x)<b"?

Надо ограничивать аргумент слева нулём, даже если это уже записано в ОДЗ. То есть, не просто "x<a^b", а "0<x<a^b" (вместо двойного неравенства можно это записать системой). Исключение - если у вас это одно из неравенств системы, в которой из других неравенств следует, что x>0. Но лучше даже в таких ситуациях писать это ограничение.

17) Что считается арифметической ошибкой?

Арифметическая ошибка - это ТОЛЬКО ошибка в результате 4 действий: сложения, вычитания, умножения, деления. За это снижают на 1 балл. За всё остальное 0 баллов (за пункт).

18) Надо ли использовать значки равносильности/следствия?

Их вообще лучше не писать. Если вы решаете равносильными переходами, но пишете везде значок "следовательно", то от вас могут потребовать проверку полученных решений. Вы же, получается, решали уравнение/неравенство-следствие? Значит, могли получить лишние корни. Поэтому, лучше ставьте точку с запятой.

19) Можно ли для сравнения использовать примерные значения чисел? Например, √2≈1,41.

Нет, для сравнения использовать только оценки, например: 1<2<4, поэтому 1<√2<2. Исключение - известные константы, такие как π и e.