Критика и философия математики. Наброски

ПРЕДЫСТОРИЯ

Мы живём в обществе, которое подверглось тотальному идеалистическому изнасилованию со стороны Пифагора, Платона и Аристотеля. Со стороны Пифагора и Платона наше сознание было извращено идолом идеалистической математики, а со стороны Аристотеля — логикой. Обе формальные системы нередко воспринимались как объективно существующие в подлинной реальности, будь это мир идей или наблюдаемый мир вокруг нас. То есть числа и соотношения понимались как некие реальные объекты или силы. Более того, нередко числам отдавали больший онтологический приоритет, чем самой наблюдаемой реальности.

Христианство в целом уничтожило все альтернативные дискурсы, которые были против использования логики и математики, а также впитало и взрастило идеалистическую математическую идеологию.

На протяжении многих тысячелетий можно было зафиксировать, что собственно теоретическая математика, в отличие от практической, не имела какого-либо эмпирического применения (за исключением некоторых редких мыслителей), а потому наиболее значительной причиной по сохранению этой математики была её связь с некой незримой метафизической реальностью, то есть идеалистическая философия. Человек, который отрицает этот факт, вероятно, мало знаком с античными и средневековыми текстами по философии математики и экстраполирует современное её состояние на всю её историю.

Впрочем, постепенно начинают назревать номиналистические и прочие подходы к объяснению, в том числе, математики, что в итоге дало людям возможность предположить, что числа, фигуры и операции с ними происходят у нас в мышлении. До этого математики по преимуществу верили в то, что они управляют реально существующими объектами метафизической природы мира. Точки, треугольники и числа реально существовали и, более того, существовали даже в больше степени, чем эмпирический мир вокруг нас.

МАТЕМАТИКА И МЕТАФИЗИКА

Относительно соотношения логики Аристотеля и его метафизики я уже писал в различных статьях. Логика подпитывается метафизикой. Без метафизики определенного типа нет логики. Например, метафизика Аристотеля не приемлет дурной бесконечности, а потому и его логика — тоже. Мне думается, что в данном случае именно метафизика определила логика, а не наоборот.

Точно также дела обстоят и с математикой, но в куда более догматическом виде, потому что развивалась она в наиболее мистических философских течениях платонизма, пифагореизма, неоплатонима и неопифагореизма. Мы видим прочнейшую связь математики и метафизики. Мир пронизан числами. Именно поэтому имеет смысл заниматься математической теорией и развивать математику до бесконечности. Такова была античная мотивация. Кроме того, числа связывали мистических практиков в метафизическим миром, позволяли говорить на его языке, понимать его и вычислять. Математика стала неотъемлемой частью разных философских подходов внутри перечисленных направлений. Наиболее ярким представителем такого подхода является Ямвлих.

Окончательно отделение математики от метафизики было произведено, когда начался тотальный отказ от метафизики, то есть в двадцатом веке. До этого значительное количество математиков оправдывали свои занятия в платоническом духе. Даже один из основателей современной логики (а также видный представитель философии математики), Фреге, придерживался основных платонических идей. Конечно, и до двадцатого века существовали мыслители и математики, которые воспринимали математику не метафизически, но это никак не отменяет её метафизические корни. Более того, это позволяет нам задать вопрос о реальности математики.

МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНОСТЬ

Античные математики и философы, использующие математику, судя по всему, руководствовались верой в онтологическое и гносеологическое единство математики и реальности. Математика как средство познания оказывалась свойственна человеку, а также пронизывала реальный мир объективно, а не субъективно, то есть как некая действующая сила или даже материя. Это связывало теорию познания греков и их онтологию. Человек имел возможность напрямую познавать мир. Правда, очевидно, что такой подход строится на ряде серьёзных допущений, которые были постепенно ниспровергнуты историей философии и математики.

В итоге математика оказалась языком, познающим мир, но оперирующим некоторыми выдуманными абстракциями, которые создаются методом аксиоматического постулирования. Сразу де возникает вопрос: а как мы с помощью неё познаем? Числа — абстракции, операции — абстракции, фигуры — абстракции. Где тот мостик, как у античных метафизиков, который ведёт от математики к познанию реального мира? Мостик метафизики был по большей части разрушен, но он хотя бы показывал необходимость математики для познания реальности. Каким образом реальность может познавать выдуманная из головы модель, состоящая из набора некоторых аксиоматически постулируемых абстракций? Наверное, вы могли почувствовать тотальную разницу между античным подходом и современным. Если античный подход практических гарантировал истину при истинности исходной метафизики, то современный ничего толком не гарантирует. В лучшем случае, будет создана модель, которую можно использовать на практике, но практика — не есть познание.

Как по мне, вопрос о соотношения метода и реальности — это важнейший вопрос теории познания, который необходимо решить перед тем, как массово пропагандировать тот или иной познавательный метод в качестве основного. Математики и логики думают «аксиоматически». Если точки мы можем выдумывать «аксиоматически», то и заставлять всех использовать нашу излюбленную и ни на чём не основанную методологию тоже можно «аксиоматически». Ведь ни логика, ни математика — не требуют сами по себе доказательств, потому что с их помощью что-то доказывается. Запросить доказательство логики или математики — значит завести всё это формальное фантазирование в состояние безостановочного цикла самодоказательств или в состояние дурной бесконечности.

Так вот, если математика не имеет никакого отношения к реальности, то как же она познает? А если имеет это отношение, то какое? Многие современные математики не могут ответить на такой важный вопрос, и им должно быть стыдно за это перед предшественниками, потому что практически каждый крупный математик прошлого мучился вопросами о философии математики. А не просто ли так мы этим занимаемся? Какое отношение математика имеет к миру? Что значит познавать с помощью математики? Жалко, что современные математики часто игнорируют философию и просто бездумно считают. Видимо, это тоже аксиома. «Заткнись и считай».

Я, будучи скептиком, не имею понятия, каково соотношение математики и реальности, но, как мне видится, это очень важных вопрос, на которых пытались ответить многие как математики, так и философы математики.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ НОМИНАЛИЗМ

Если математика придумана людьми и не базируется ни на какой реальности, что мне видится наиболее вероятным вариантом разрешения данной проблемы, то её познавательная ценность равна абсолютному нулю. Она равносильна какой-нибудь формальной игре по типу шахмат, только сложнее. Доказать, что математика не придумана людьми, а добыта ими от Бога, из опыта, из космоса — довольно трудно и, как мне видится, пока ни у кого не получилось.

С другой стороны, сам факт того, что математика придумана людьми, не означает, что она не имеет возможности адекватно описывать реальность или использоваться в действительности. Со вторым пунктом спорить бессмысленно, потому что математика косвенно используется на практике и упрощает жизнь инженерам, программистам и многим другим людям. А вот вопрос о её адекватном описании реальности оказывается полностью дискуссионным, что обыкновенно в современном обществе замыливается из-за слепой веры в науку. Соотношение математики и реальности при условии того, что первая является продуктом деятельности человеческого разума, — это то, что нужно бесконечно долго прояснять и доказывать.

ЧИСЛО

Совершенно не понятно, что представляет собой число. Некая пустая абстракция, которая наделяется каким-то переменным смыслом. Что есть единица? Яблоко? Куча яблок? Два яблока? Все яблоки на планете? Всё это одновременно может быть единицей. Единица — это бытие. Единица — это ничто. В ней сливается все многообразие нашего мира, но тут появляется двойка, которая состоит из двух всеобъемлющих единиц в масштабе от ничто до всего. Что же это за единица? Откуда взялась эта абстракция? Каким образом она была придумана? И, собственно, зачем вообще существует эта теоретическая или воображаемая субстанция?

Стоит отделять практические «единицы», то есть шаги, локти, сантиметры и метры от истинной абстрактной единицы, проявляющей себя во всем и не появляющейся нигде. Что это такое? В Античности к Единице и Единому стремились всевозможные мистики, так как они представляли некую божественную и метафизическую сущность. В современности мы даже с единицей разобраться не можем. Куда уж нам вся остальная математика?

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Неизвестные и непонятные числа взаимодействуют друг с другом по каким-то умозрительным правилам. Эти правила и есть арифметические операции. Но насколько мы имеем право их производить с тем, чего не понимаем? И как непонятные числа и операции могут вообще давать какие-то реальные результаты?

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Несуществующие вымышленные объекты нашего воображения, которые мы называем геометрическими фигурами, очевидно не имеют никакого отношения к реальности. Никаких безразмерных точек и плоскостей — не существует. Каким образом эти идеалистические абстракции адекватно применять в познании? Что это нам даёт с точки зрения познания?

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Размышления о математике можно продолжать вечно. Слишком обширна она и её деятельность. Чаще всего люди даже не задумываются о проблематичности даже простейших математических операций и объектов, но всё равно торопятся исследовать эту дисциплину до невероятной глубины. Возможно, математика — это отличное развлечение и неплохой способ получить практическую пользу, но нет никакого смысла без дополнительных аргументов применять её для познания. Современный человек находится в безальтернативном мире слепой догматики, когда у него особо нет выбора. Научное познание включает в себя математику, а потому исследователь должен встать перед ней на колени и бессмысленно воспроизводить всевозможные формулы, в надежде, что они хоть как-то коррелируют с истиной.

Любое сомнение в математике и любые вопросы воспринимаются в штыки, хотя сами фанатики и не знают, что ответить. Они просто отрицают вопросы без особой причины, потому что их не научили думать (в том числе, над данными вопросами). Впрочем, человек мыслящий, даже если он занимается математикой, будет задаваться значительной частью из них и искать ответы, потому что без этих ответом в принципе не понятно, на что люди тратят время, занимаясь данной формальной системой. Достаточно умным математикам, как и представителям других дисциплин, хочется понимать причину своих занятий. Глупцы же продолжают заниматься своей деятельностью, потому что так просто надо.