Двойная δ-яма

Ни для кого не секрет, что всё в этой Вселенной состоит из атомов: газы, жидкости, твёрдые тела, молекулы — это всё строится из маленьких-маленьких кирпичиков. Наиболее простое для анализа вещество — это атом водорода, который допускает аналитическое решение уравнения Шрёдингера. Всё, что сложнее водорода уже трудно решаемое, поэтому приходится идти на хитрости и представлять решение многоатомных молекул как сумму водородных функций — это метод МО ЛКАО. Представляется, что всякая многоатомная молекула — это набор кулоновских потенциалов, которые убывают при отдалении от атома и возрастают при приближении к атому (рис. 1).

Однако можно придумать несколько более простую модель. Давайте вообразим себе молекулу всего из двух одинаковых атомов, да и причём такую, что они между собой очень слабо взаимодействуют. А именно расстояние, на котором спадает потенциал много меньше расстояния между атомами. Тогда потенциал этих двух атомов можно представить как две отрицательные δ-функции:

Мы будем рассматривать связанные состояния: E < 0.

Одна δ-яма

В качестве лирического отступления решим задачу с одной δ-ямой. Её потенциал будет задаваться формулой:

Можем написать уравнение Шрёдингера:

Для решения данной задачи требуется задаться граничными условиями. Первое из них — это условие неразрывности волновой функции. Второе должно как-то связывать производные, но как? Чтобы это понять, проинтегрируем уравнение Шрёдингера в малой области вокруг нуля:

Первый интеграл даст нам первые производные в граничных точках. Второе слагаемое — интеграл с δ-функцией, он обладает хорошим свойствам, что выдаёт на выходе значение функции в той точке, в которой δ-функция обращается в ноль. В данном случае будет просто ψ(0). Последний интеграл мы даже трогать не будем. В итоге выходит:

Теперь нам требуется определить предел при ε → 0. Последний интеграл в этом случае обращается в ноль, и в итоге выходит граничное условие:

Где буквами R и L обозначены функции, соответственно, по правую и левую сторону от нуля.

Теперь же требуется решить уравнение Шрёдингера. Сделать это довольно просто. Во всей области, за исключением δ-ям, уравнение будет выглядеть как:

Где мы ввели обозначение:

Решение данного уравнения — это линейная комбинация экспонент:

В силу ограниченности волновой функции требуется положить B = 0 и C = 0, поэтому в итоге полные решения:

Применяя условие неразрывности, получим:

Теперь требуется применить условие на производные. С учётом, что A = D, получим:

Откуда немедленно находим:

И, наконец, выразим энергию:

Для одной δ-ямы существует всего один уровень энергии. Действительно, если мы посмотрим, например, на атом водорода издали, то все уровни энергии для нас будут еле различимы, поэтому нам будет казаться, что в среднем у электрона какая-то одна энергия. Также на этом факте можно придумать какое-нибудь хранилище информации. Если нам требуется что-то запомнить, мы помещаем электрон в это состояние, а если забыть, то передаём ему энергию и освобождаем состояние).

Две ямы

Две ямы решаются точно таким же образом, только теперь мы имеем три зоны со своими уравнениями Шрёдингера. В итоге решение будет выглядеть как:

Из условия ограниченности B = E = 0:

Применим теперь граничные условия:

Складывая и вычитая первые два уравнения, получим:

А если вторые два, то:

Таким образом, мы получаем однородную систему из двух уравнений:

Для существования нетривиальных решений требуется, чтобы её детерминант равнялся нулю:

Откуда получаем дисперсионное соотношение, определяющее уровни энергии:

Удобно ввести новые переменные y = γa, y₀ = αma/ħ² и переписать данное уравнение:

Наклон функции (y / y₀) − 1 определяется расстоянием между ямами: чем больше расстояние, тем меньше наклон. В данном случае приведены прямые с y₀ = 1, 2, 3.

Видно, что уравнение (y / y₀) − 1 = exp(−y) всегда имеет одно решение, в то время как уравнение (y / y₀) − 1 = −exp(−y) имеет два решения, только если y₀ > 1, т. е. при условии:

Получается интересная вещь — мы имеем две принципиально разные возможности: либо два уровня, либо один. Получается, что существует два типа различных функций электрона, а значит и разные состояния. Такие состояния принято называть чётными и нечётными. Это отличительная особенность всех фермионов — их функции антисимметричны, а значит для них присутствуют две возможные волновые функции (в отличии от симметричных бозонов). Можно провести некоторую аналогию с реальным миром. Самая простая молекула, которую можно описать с помощью двух δ-ям — это молекула водорода. Пока атомы водорода далеко, их потенциалы — это δ-функции, поэтому при сближении их электроны могут находиться либо на разных уровнях, либо на одном. Это наводит на мысль о том, что при взаимодействии атомов происходит расщепление уровней каждого водорода — появляются связывающая и разрыхляющая орбитали. Далее при ещё большем их сближении по нашему приближении оба электрона обязаны переместиться на один уровень. Это соответствует образованию атома гелия (если закинуть туда ещё пару нейтрончиков). Вот так интересно всё устроено, а пока, всем удачки).