Физика легирования и легированных полупроводников
Мы заключили, что при повышении температуры в собственном полупроводнике начнётся неконтролируемое возрастание тока, что приведёт к тепловому пробою, а значит нам надо придумать другой путь поставления зарядов в ЗП. Пожалуй единственный такой способ — это легирование. В полупроводник мы добавляем примесь либо с большей валентностью (тогда это примесь донорного типа), либо с меньшей (тогда акцепторного).
Доноры, как понятно из своего названия, связываются с атомами полупроводника, но при этом у них остаётся один лишний электрон, который может в дальнейшем путешествовать по кристаллу. Оторвать этот электрон от атома донора проще, чем от атома основного п/п, поэтому уровень энергии такой примеси будет лежать внутри ЗЗ, но ближе к ЗП. Акцепторам же не хватает электронов, чтобы связаться с атомами — они поставляют вакантные места для электронов — дырки, которые в дальнейшем могут путешествовать по кристаллу внутри ВЗ. Их уровень также находится внутри ЗЗ, но ближе к ВЗ.
Если п/п легирован донорами, то он имеет электронную проводимость (n-тип), а если акцепторами, то дырочную (p-тип).
Занимательно рассмотреть процессы ионизации примеси. Пока лишний электрон находится у донора, атом нейтрален, но когда он уходит — остаётся нескомпенсированный положительный заряд ядра — ионы доноров положительны. У акцепторов наоборот — когда дырка уходит (или наоборот к ним приходит электрон) получается нескомпенсированный отрицательный заряд — ионы акцепторов отрицательны. Это, казалось бы, очевидно, но из-за наличия в нашей терминологии дырок как частиц принята весьма не очевидная условность. В полупроводниках атомы примеси воспринимают так: доноры состоят из положительного ядра и валентного электрона, а акцепторы из отрицательного ядра и положительной дырки.
Также существует ещё и амфотерная примесь. Она может проявлять себя и как донор, и как акцептор в зависимости от того, в какую подрешётку она встроена.
Как легировать полупроводник?
Методов легирования существует несколько и один из них — это ионная бомбардировка. Мы ионизируем газ из того вещества, которое хотим вкачать, а дальше на катод кладём подложку из п/п. При подаче напряжения ионы встраиваются в решётку п/п на глубину пробега, которую можно рассчитать по эмпирической формуле:
Ответ выйдет в нм, если энергию пучка подставить в кэВ, а плотность в г/см³. Индекс 1 относится к полупроводнику, а 2 к ионному пучку.
При ионной бомбардировке сильно нарушается целостность решётки — образуется большое количество дефектов, поэтому после загонки примеси требуется отжиг и дальнейшая разгонка (на самом деле все методы легирования двухэтапные, состоящие из загонки примеси и разгонки).
Также есть метод диффузии из газовой фазы, но о нём лучше говорить, решая уравнение диффузии.
Решения уравнения диффузии
Уравнение диффузии представляет собой II закон Фика:
Не вдаваясь в математические подробности решения данного уравнения приведём некоторые его решения в различных случаях. И первый из них — это диффузия из неограниченного источника, используемая при загонке. В данном случае концентрация в промежутке (-∞; 0) предполагается константой, равной c₀. Внутри п/п при t = 0
c = 0. Решение при этих условиях:
На рисунке 4 приведены графики распределения примеси при различных временах загонки для бора с начальной концентрацией 10¹⁷ смˉ³:
Загонка примеси происходит на очень малую глубину. Из графика видно, что она составляет порядка сотен ферми, поэтому теперь надо распределить эту примесь по объёму полупроводника. Для описания этого процесса используют две основные модели: диффузия из поверхностного источника (если глубина загонки не слишком велика) и диффузия из объёмного источника (если глубину загонки требуется учитывать). Решения у этих двух моделей схожи по своему характеру и представляют собой гауссово распределение. Конкретно для поверхностного источника решение имеет вид:
c₀ — это то кол-во примеси, которое мы смогли загнать в п/п. Оно определяется потоком примеси:
А поток в свою очередь определяется выражением:
На рис. 5 приведены графики разгонки того же бора при времени загонки 420 с и различных временах разгонки:
Физика легированных полупроводников
Что касается электрических свойств легированных полупроводников, то поначалу всё довольно несложно. Для описания электрических свойств используются два уравнения: закон действующих масс:
И уравнение электронейтральности (оно же уравнение Шокли):
Концентрации ионов примеси подчиняются статистике Ферми-Дирака, поэтому можно написать:
Но это не совсем обычная статистика Ферми-Дирака, тут добавлены множители g(D) и g(A) — это факторы вырождения. Данные факторы связаны с запретом Паули. Представим, что п/п легирован атомами одновалентного металла. На последнем уровне существует всего два состояния (с различными спинами). Если одно из этих состояний занято электроном, то второе состояние должно немного подрасти по энергии — с уровня снимется вырождение. При выводе статистики Ферми-Дирака мы предполагали, что электроны представляют собой газ в вакууме и все одноэлектронные состояния равны по энергии (вырождены). Теперь же надо учитывать снятие вырождения при наличии электрона на уровне. Фактор вырождения равен отношению вырождения нейтрального атома к фактору вырождения иона: g = g(0) / g(i). Вот например одновалентный атом: коль скоро у него нет электрона, уровень двукратно вырожден (g(i) = 2), а при наличии электрона вырождение снимается (g(0) = 1). Таким образом g = 1 / 2. В качестве донорной примеси используют пятивалентные атомы. Т. к. на внешней орбитали всего один электрон, фактор вырождения таких атомов такой же, как и у одновалентного. В качестве акцепторов используют трёхвалентные атомы. У них вероятностей уже побольше, ведь помимо двух электронов там могут быть и две дырки, поэтому g = 1 / 4.
Чтобы определить концентрации электронов и дырок в этот раз, нужно использовать распределение Ферми-Дирака, а не Больцмана, как мы это делали для собственного п/п:
В лоб такие интегралы взять не получится, их берут численно. Точнее не их, а так называемые интегралы Ферми:
Выражая концентрации электронов и дырок через них, получим:
Собственно √π вылез именно для того, чтобы сократить γ-функцию от 3/2.
Полученные нами соотношения позволяют записать одно страшного вида уравнение, позволяющее определить уровень Ферми в легированном п/п:
Решают его так: строят функции каждого из слагаемых и ищут точку, при которой удовлетворяется уравнение. На рис. 6 показан пример такого графического поиска:
Ситуация облегчается, если п/п либо вовсе не легирован, либо легирован только акцепторами или только донорами. Для собственного п/п концентрации электронов и дырок равны, поэтому:
Выразим отсюда экспоненту с энергией Ферми:
Отсюда:
Концентрации электронов и дырок в ЗП и ВЗ определяются их эффективными массами, поэтому:
В том случае, когда эффективные массы электронов и дырок совпадают, положение уровня Ферми соответствует середине ЗЗ. Если же мы легируем донорами, то уровень Ферми подымается:
При легировании донорами уровень Ферми опускается:
Напоследок отметим одну важную особенность. Мы уже знаем, что при высокой концентрации атомов энергетические уровни превращаются в зоны. Примесные уровни остаются уровнями лишь потому, что концентрация примеси не велика. Если её начать увеличивать, примесный уровень начнёт превращаться в зону (рис. 8), а значит ширина запрещённой зоны начнёт уменьшаться. На рис. 7 приведен график зависимости изменения ширины ЗЗ с ростом концентрации примеси:
Мы помним, что для собственной концентрации в экспоненте стоит ширина ЗЗ, а если она изменяется, то изменяется и собственная концентрация носителей. Вводят в этом случае так называемую эффективную концентрацию собственных носителей:
В дальнейшем при изучении разного рода эффектов в p-n-переходах это придётся учитывать, а сейчас это пусть останется занятным фактом) Остался необговоренным вопрос о проводимости и токах в легированных п/п — об этом мы в следующий раз и поговорим, а пока всем удачки)