Электроны и дырки в полупроводнике

Основной способностью, какую мы желаем видеть в любом материале, является способность пропускать электрический ток. Типа если кусман материала этого сделать не может, то, ну, как бы он и нафиг не нужон… Разве что сжечь его можно, чтоб согреться. А если кусок материала ещё и может управлять проходящим через него током, то ну это вообще шикарно — из этого можно всякой всячины напридумывать. Вот мы с вами изучили модель Кронига-Пенни и поняли, что в материалах есть зоны — как минимум валентная (ВЗ), проводимости (ЗП) и запрещённая (ЗЗ). Их энергии мы будем обозначать, соответственно, Ev, Ec и Eg. Также мы с вами обнаружили, что удобнее пользоваться понятием эффективной массы, особенность которой в том, что в знаменателе вторая производная от энергии по квазиволновому соотношению, вычисляемая из дисперсионного соотношения. И ровно эта мысль сейчас приведёт нас к гениальному умозаключению. Приведём ещё раз зависимость энергии от квазиволнового вектора в первой зоне Бриллюэна:

Горбик, который выпучен вверх соответствует ВЗ, а тот, что вниз — ЗП. Можно заметить, что Горбик ЗП более острый, чем ВЗ, а значит там вторая производная большая и положительная — соответственно масса маленькая и положительная. В свою очередь горбик ВЗ более широкий, значит там производная меньше и отрицательна, а значит эффективная масса больше и тоже отрицательна! Но, кхм… Эффективная масса чего? Когда электрон переходит из ВЗ в ЗП, у него в ЗП, конечно, приобретается эффективная масса, с которой он начинает путешествие по кристаллу. Но в этом случае в ВЗ осталось вакантное место, на которое с радостью придут соседние электрончики, там наоборот место начнёт путешествие по кристаллу. Так вот это место, которое там образовалось, называют дыркой. Дырка имеет положительный заряд и отрицательную эффективную массу и это абсолютно логично — электроны стремятся понизить свою энергию — опуститься вниз, тогда дырке ничего не остаётся, кроме как всплыть! Это похоже на то, как пузырёк газа в газировке всплывает, а не тонет. Также масса у дырки по модулю больше, ибо всё же её движение определяется движением целого потока электронов, а движение одного электрона, собственно, только этим электроном, а толпа всегда движется медленнее, чем один человек. Итак, электроны путешествуют по кристаллу в ЗП и стремятся утонуть, а дырки в ВЗ и стремятся всплыть — это крайне важно и скоро нам это понадобится.

Статистика электронов и дырок

Ну а пока, наверно, стоит отметить, что мы рассматриваем самый бесполезный с точки зрения применимости собственный полупроводник. В целом эта шняга нейтральна, поэтому сколько электронов ушло в ЗП, столько же дырок образовалось в ВЗ. Нам нет большого смысла говорить о концентрации дырок, т. к. она совпадает с концентрацией электронов, поэтому для собственных п/п мы будем говорить только о собственной концентрации носителей (ni). В любой точке Вселенной и даже в куске камня работает самый главный квантовый закон всех времён и народов — принцип неопределённости Гейзенберга. Работает он мало того что везде, так ещё и во всех направлениях, поэтому с чистой совестью для кристалла можем написать:

Перемножив их, мы получим:

dp — это суть объём в фазовом пространстве — зоне Бриллюэна, а dV — в обычном. Если положить dp = h³, то dV = 1, это значит, что в объёме зоны Бриллюэна h³ будет находится только одна квартирка, а которой могут жить два электрона с разными спинами. Тогда величина dp / h³ соответствует числу таких вот квантовых квартирок. Заполнение зоны Бриллюэна начинается, конечно, с минимальных значений квазиимпульса — с минимальных энергий. Для нахождения числа квартирок выберем в зоне Бриллюэна изоэнергетическую поверхность.

Изоэнергетическая поверхность — поверхность постоянной энергии. Если мы выберем в фазовом пространстве поверхность постоянного квазиимпульса, то по уравнению E = p² / 2m на ней будет постоянная энергия. Для собственного
п/п изоэнергетическая поверхность — сфера!

Нам надо найти объём слоя такого шарика. Сделать это можно, если мы из объёма внешнего шарика вычтем объём внутреннего шарика, но можно просто площадь поверхности домножить на dp. Так и эдак одно и то же получится, главное для получения числа состояний надо это разделить на h³:

Теперь напишем выражение для энергии электрона в ЗП:

Отсюда мы получаем два дополнительных полезных соотношения:

Надо же, скорее подставим это в наше dN!

Интересно, что концентрацию плотности состояний можно определить через распределение плотности состояний по энергиям: dN = N(E)dE, а значит мы нашли это самое распределение:

Статистика Ферми-Дирака

Дальше нам понадобится функция распределения электронов, чтобы найти концентрацию. Электроны по своему естеству есть фермионы — подчиняющиеся принципу Паули частицы с полуцелым спином. Распределение Ферми-Дирака для них получается путём применения принципа Паули к термодинамическому потенциалу Больцмана. Напишем его:

По принципу Паули на одном уровне могут быть лишь два электрона, что соответствует числам заполнения 0 и 1, поэтому:

Среднее число частиц в одном состоянии можно найти как производную от ТД-потенциала по химическому потенциалу (энергии Ферми), взятую с обратным знаком:

Уровень Ферми в данном случае можно определить как уровень, вероятность заполнения которого равна ½. Часто в п/п уровень Ферми лежит внутри ЗЗ. В собственных п/п он совпадает с серединой ЗЗ. Можно сказать, что Ec — Ef > kT — такие п/п называют невырожденными. Для таких п/п можно пренебречь единицей в распределении Ферми-Дирака, благодаря чему оно перейдёт в распределение Максвелла:

Тогда можно найти концентрацию электронов в ЗП:

Сюда мы должны подставить уже полученное распределение состояний по энергиям и распределение Максвелла. Вы не поверите, но действительно выйдет:

Где величина:

Есть равновесная концентрация электронов в ЗП. По аналогии можно записать концентрацию дырок в ВЗ — там лишь mn заменится на mp и надо написать вместо Ef — Ec Ev — Ef:

Но концентрации дырок и электронов равны и вместе должны составлять собственную концентрацию носителей ni — в этом заключается закон действующих масс для п/п:

Таким образом:

На рис. 4 приведена зависимость собственной концентрации носителей для различных материалов в координатах Аррениуса:

Заключение

Резюмируя всё вышесказанное, мы можем теперь сказать: теперь мы знаем, сколько электронов и дырок появится, если мы начнём греть наш кусок камня. Видно, что с возрастанием температуры концентрация собственных носителей весьма сильно меняется, а значит и меняется проводимость, а это не очень хорошо хотя бы потому, что по закону Джоуля-Ленца при протекании тока наш камушек так и так нагреется, там возникнут носители, ток возрастёт, он ещё нагреется и в конце концов произойдёт тепловой пробой — нашему прибору настанет кирдык. Именно поэтому собственные полупроводники не используют в электронике, надо как-то ограничить возрастание зарядов с температурой. Для этого придумали вкачивать в полупроводники другие элементы, привносящие заряды извне «безвредно» для полупроводника — легировать. О том, как, чем и что получится при легировании, мы поговорим в следующий раз, а пока всем удачки).