Уравнения Максвелла для вакуума

Уря, у нас с вами появилось великое оружие — уравнения Максвелла! Теперь нам подвластна вся электродинамика, однако не спешите радоваться, путь предстоит весьма и весьма не близкий… Ну да ладно, унывать всё равно не стоит, ведь не всё так печально).

Мы получили 4 дифференциальных уравнения в частных производных, которые с силой Лоренца полностью определяют динамику системы зарядов. В теории относительности четыре диффура Максвелла сводятся к двум диффурам для тензоров. Сами понимаете, решать системы из диффуров — это скорее к теоретикам и математикам, а мы с вами тут реальными делами занимаемся, поэтому нам срочно надо что-то придумать, чтобы упростить систему. Давайте запишем сперва нашу систему:

Приготовьтесь, сейчас будет финт ушами (как, в общем-то, всегда в электродинамике). Давайте возьмём сейчас роторы от роторов:

Окей, а что такое этот ваш ротор ротора? Видно, что это по факту двойное векторное произведение, которое можно раскрыть по правилу Б(АЦ) − Ц(АБ):

Применим это правило к роторам роторов:

Так, что тут у нас… Ага, значит первое слагаемое — это набла, умноженная на дивергенцию (скалярное произведение наблы на поле). Раз произведение скалярное, значит выходит скаляр. А если набла действует на скалярное поле, то это градиент. Значит, первое — это градиент дивергенции (graddivB и graddibE). Второе — это скалярное произведение наблы саму на себя, а потом это нечто действует на поле. Скалярное произведение наблы саму на себя называется оператором Лапласа (лапласианом). Давайте теперь подставим сюды все дивергенции и роторы, которые знаем:

Немного поигравшись со слагаемыми, сможем записать это в более привлекательном виде:

Надо же, выглядит если и не знакомо, то как минимум кайфово). Слева мы получили абсолютно одинаковые части — это полевая часть. Справа у нас функции тока и заряда — функции источников. В общем-то, эти два уравнения полностью аналогичны уравнениям Максвелла и также определяют поведение системы зарядов. Мы сумели сократить количество уравнений до двух, но расплатились тем, что теперь это уравнения второй степени. Тем не менее в ряде случаев эти уравнения анализировать проще, чем непосредственно уравнения Максвелла.

Итак, давайте изучим сначала самый простейший случай, какой только можно придумать (и поэтому самый важный!) — когда зарядов вообще нет. Уравнения Максвелла без зарядов и токов часто называют уравнениями для пустоты/вакуума/свободного пространства. Если у нас нет источников, мы получаем:

Или два уравнения:

Эти два уравнения называют однородными уравнениями д'Аламбера. Так как они абсолютно одинаковые, будем рассматривать только одно из них. В электродинамике принято проводить рассуждения для электрического поля, и мы поступим также. Итак, из математической физики известен общий вид решения данного уравнения — это минимум дважды дифференцируемая функция вида:

И не просто так я тут написал v. Если посмотреть на размерности, то можно увидеть, что v = 1/√εμ. Оставим проверку этого факта нашим читателям). Эта величина имеет смысл скорости распространения электромагнитного импульса. Если мы реально находимся в вакууме (вот на этом месте мегаважная ремарка. Мы с вами хоть и назвали уравнения для вакуума, но ε и μ по факту оставили для вещества: таковы условности названий), то ε и μ должны подставить для вакуума. Из-за того, что для вакуума они не 0, скорость электромагнитного импульса в вакууме конечна. Наверное, вы догадываетесь, что равна она скорости света:

На этом месте можно было бы уже поговорить про показатель преломления. К этому мы вернёмся несколько позже).

Вы наверняка заметили, что я упорно избегал словосочетание «электромагнитная волна», ведь на самом деле именно волн в природе не так уж и много. Говорить о волнах нам позволяет теорема Фурье: всякую хорошую функцию можно представить в виде совокупности волн. А значит, мы вполне можем изучать волну, а потом делать из нее, что хотим. Итак, на этом месте возникает понятие плоской монохроматической волны:

Такая волна имеет в качестве синфазной поверхности бесконечную плоскость, а частота её не меняется. То есть такая волна абсолютно когерентна. Когерентность — это изменение какой-либо величины по известному контролируемому закону (неизменность — это тоже контролируемый известный закон).

Наговорил тут щас какой-то жести, но на самом деле это всё — обычная синусоида, которая нам известна ещё со школьной физики:

Вот из таких волн мы сможем строить любой электромагнитный импульс).

Хммм… Раз это поле настолько круто, то, быть может, подставим его в уравнения Максвелла для вакуума и посмотрим, что из этого выйдет?

Точно также:

И, взяв производные по времени, получим:

В итоге мы получили полную систему волновых уравнения Максвелла для вакуума:

Данные уравнения говорят нам, что векторы k, E и B взаимно ортогональны и образуют правую тройку векторов. Но посмотрите на 2 последних уравнения. Они ну так похожи-похожи, что лично у меня руки чешутся подставить одно в другое и посмотреть, что выйдет:

Теперь сократим, чё сокращается и учтём, что k и E — ортогональны:

Мы получили связь между скоростью распространения волны, частотой и вектором k. Такое соотношение называется дисперсионным. Вообще, дисперсия у нас — это зависимость показателя преломления от длины волны (в оптике) или частоты от вектора k (в СВЧ). К дисперсии мы обязательно вернёмся, а пока давайте найдём величину вектора k для вакуума. Частоту для этого выразим через длину волны:

Итак, мы ввели какой-то вектор k, узнали, что он ортогонален всем полям, связан с частотой, да ещё и нашли простую формулу через длину волны. Настало время раскрыть все карты и про него. Вектор k — это волновой вектор. Модуль его равен, как вы поняли, 2π/λ, а направлен он вдоль распространения волны.

Подведём итог. Сегодня мы с вами узнали, что уравнения Максвелла можно упростить, написав всего два уравнения д'Аламбера. В вакууме уравнения д'Аламбера дают весьма красивое решение, которое можно представить в виде волн. Для них можно написать волновые уравнения Максвелла для вакуума. Мы поняли, как скорость света связана с параметрами вещества, а также получили дисперсионное соотношение, которое в дальнейшем нам очень сильно пригодится. Я считаю, что за сегодня мы прошли немалый путь, чем можем чутка погордиться). На сегодня всё, всем удачки)