Cекретная информация, связанная с древними индийцами

Хочу извиниться за вчерашнюю бесполезную статью и рассказать вам прелестную штуку. Уже давно заметил, что числа

5 10 20 40 50 100 и т.п. можно получить суммой двух натуральных квадратов. Если обобщить, то:

(2^n)*(5^m) - сумма пары натуральных квадратов при любых натуральных n и m.

Я подумал.

2 = 1+1. 1 это квадрат.

5 = 1+4. 4 тоже квадрат.

Подумал и задумался. 2 и 5 - суммы квадратов и произведения их степеней тоже. Работает ли так для других чисел?

Взял 5 и 13.

5 - сумма квадратов

13 - сумма квадратов

65 = 49+16 - сумма квадратов

325 = 324+1 - сумма квадратов

Ну и отсюда приходит мысль, что если а и b - суммы квадратов, то и

(a^n)*(b^m) — сумма квадратов при любых целых неотрицательных n и m.

Спустя небольшой промежуток времени, мне пришло в голову, что если мы докажем, что ab — с7умма квадратов, то мы автоматически докажем то, что написано мной выше. И вообще докажем, что произведение любого количества сумм двух квадратов это сумма двух квадратов.

Ну потому что. Предположим, что мы доказали, что
ab — сумма квадратов.

И возьмём ещё, что c, d и е — суммы квадратов. Тогда, получается, из утверждения о том, что произведение двух сумм квадратов есть сумма квадратов, которое мы якобы доказали, cd — сумма квадратов.

Тогда подставим вместо a — cd, а вместо b — е. И получим, что cde — сумма квадратов.

Теперь, с тем же успехом, подставим вместо a — сd, а вместо b — ce. И получим, что c²de — сумма квадратов.

Таким образом, если мы докажем, что ab — сумма квадратов, мы сможем утверждать, что, если

x[n] — сумма квадратов, то
x[1]*x[2]*x[3]…*x[k] — сумма квадратов.

Здорово. Осталось доказать, что ab — сумма квадратов, а по-хорошему, вывести формулу.

Пусть
a = u²+v²
b = p²+q²
ab = (u²+v²)(p²+q²) =
u²p²+u²q²+v²p²+v²q² =
u²p²+v²q² + u²q²+v²p² =
u²p²+2upvq+v²q² + u²q²-2upvq+v²p² =
(up+vq)² + (uq-vp)²

Доказали.

Это могло быть гениальнейшим из открытий, но, к сожалению, то, что мы сделали выше, сделали очень многие ещё до нас. Называется это «Тождество двух квадратов», или тождество Брахмагупты.

Остаётся лишь надеяться, что никто не догадался использовать это для вот этого

И, надеюсь, кто-нибудь из вас благополучно спиздит это и станет знаменитым. Всем удачи.

А, кстати, помните, мы с вами в одном посте доказывали, что если
a — сумма квадратов, то и
a² — сумма квадратов?

Мы только что обобщили это правило.