Обширная статья по диффурам
После того, как я прорешал 101 интеграл, оказалось, что у blackpenredpen есть ещё такой же сборник диффуров, который мне благополучно скинули. Как будто я умею решать диффуры! Ну, что делать? Пришлось учиться.
Оказалось, выучить диффуры это дело пары часов. Все те уравнения, которые я видел, были скучными и однообразными, хотя, думаю, можно поискать интересные.
Дифференциальные уравнения это такое уравнение, которое, грубо говоря, состоит из зависимых переменных и их производных и, возможно независимых переменных. Ответом являются не числа, а функции. Проще говоря, нужно просто убрать все производные из выражения.
Чтобы решать дифференциальные уравнения, надо, конечно же, уметь интегрировать. Но не очень-то сильно.
Намного важнее знать виды диффуров, их не так много, наверное, и мы разберём все, которые я выучил за это время.
D1. Дифференциальные уравнения с разделяемыми переменными
Это прям очень простой тип уравнений, к которому нужно сводить большинство остальных видов.
Суть решения заключается в том, чтобы скинуть все игреки в одну сторону, а все иксы в другую. Ну вот простенький пример:
y - y' = 0
И где тут иксы?
y' = dy/dx, надеюсь, вы это помните. Надеюсь, это не очень сложно.
y = y'
y = dy/dx
ydx = dy
dx = dy/y
Вот мы и разделили переменные. Иксы слева, игреки справа. Теперь очень логично это всё проинтегрировать. Поскольку писать текст мне нравится больше, чем фотографировать тетрадь, я буду вместо значка интеграла сокращённо писать int. Надеюсь, вы не против.
Да, и лучше запишем игреки слева, так как-то логичнее немного.
dy/y = dx
int(dy/y) = int(dx)
ln|y| = x + C
ln|y| = ln|e^x| + ln|C|
Так, почему x = ln|e^x|, думаю, понятно.
Почему C = ln|C|? Ну это ведь просто какое-то абстрактное число, а любое число можно представить в виде логарифма. Конечно, не из самого себя, просто математикам лень тратить лишние буквы, их и так мало.
По свойству логарифмов, ln|e^x| + ln|C| = ln|Ce^x|.
ln|y| = ln|Ce^x|
y = ±Ce^x
Есть ли смысл от ±, если там стоит С? Нет.
y = Ce^x
Это ответ.
Разберём ещё пару примеров, думаю, здесь это оправдано.
Это небольшое отступление, написанное мной, когда я сел писать статью снова, примерно через три дня после прошлого раза. Эти три дня я смотрел аватара Аанга, и прискорбно сообщаю, что он закончился. Все последующие строки статьи я пишу с горем в сердце и ненавистью ко всему миру. Надеюсь, вы проникнитесь моей печалью
Вот такое уравненьице. Приятно выглядит. К нему в придачу идёт задача Коши. Задача Коши это такая херень, когда в условии пишут, например
y(2) = 3
И вместо х везде надо подставить 2, а вместо у везде подставить 3, чтобы найти С.
Короче, задача уровня детского сада. Ну а у нас, по условию, везде надо подставить нули.
Ну и ещё одно я, пожалуй, придумаю сам
Вот такая жуть. Абсолютно элементарное уравнение, которое решается в пару действий.
Самое сложное тут интегрирование, но я постарался взять элементарные функции. Забыл, что lnx не табличная функция в интегралах.
В этой функции вы не выразите игрек через икс, так что оставим так.
D2. Однородные дифференциальные уравнения
Эта штука уже интереснее, но всё-таки скука скучная.
Что думаете? Сексуально.
Как распознать однородное уравнение? Это такое уравнение, в котором при увеличении x в n раз, y тоже увеличивается в n раз. Проще говоря, если заменить х на nx, а у на ny, все n сократятся.
Вообще на том сайте, на котором я это читал, вместо n была буква лямбда, но у меня нет никаких лямбд на клавиатуре ноутбука (на телефоне есть, но мне лень копировать), поэтому у нас будет n. Не такая страшная буква.
Ну и давайте сразу обозначим, что
d(nx) = ndx
d(ny) = ndy,
потому что n — просто какое-то число.
И что делать дальше? Я думаю, в этом случае неплохо бы разделить всё на dx, и записать dy/dx как у'
А теперь открою вам тайну. Любое однородное уравнение решается с помощью замены
y = vx,
где v — какая-то функция.
y' = (vx)' =
v'x + vx' =
v'x + v
Теперь подставляем
Как вы видите, перед вами уравнение с разделяемыми перемемными, а их мы уже разобрали. Осталось просто проинтегрировать, выразить v, подставить в
y = vx
И записать ответ. Делать я это не буду, потому что мне лень, и разбирать другие однородные уравнения тоже, так как и так всё понятно. Если нет — пишите в комментарии.
D3. Линейные уравнения.
Под линейными подразумеваются те, в которых у игрека нет никакой степени и функции (вроде). А вообще способ их вычисления очень и очень прикольный, мне нравится.
Для начала всё же предлагаю записать как
y' = cosx - ysecx
А ещё лучше, как
y' = cosx - y/cosx
Так, теперь к методу. Его суть заключается в том, чтобы записать функцию у как произведение двух других функций:
y = uv
Тогда, соответственно,
y' = (uv)' = u'v + uv'
Дальше суть в том, чтобы подобрать одну удобную функцию, такую, чтобы без проблем найти вторую.
Итак, вернёмся к нашему уравнению.
y' = cosx - y/cosx
u'v + uv' = cosx - uv/cosx
cosx - u'v - uv' - uv/cosx = 0
cosx - u'v - u(v' + v/cosx) = 0
Приводим к такому виду.
Пришло время открыть тайну, удобной функцией мы будем делать v, а неудобной — u.
Как нам сделать удобную функцию удобной, чтобы удобно посчитать неудобную?
cosx - u'v - u(v' + v/cosx) = 0
А что, если мы приравняем выражение в скобках к нулю? Получим систему:
v' + v/cosx = 0
cosx - u'v - 0 = 0
Из первого мы без проблем можем выразить v. Сделаем это.
v' = - v/cosx
dv/dx = - v/cosx
dv/v = - dx/cosx
Ну разве не прелесть? ИНТЕГРИРУЕМ! Так лениво делать это на бумаге, можно я просто заскриню вольфрам?
Ну а int(dv/v) = ln|v|
Ну вот и пишем
ln|v| = ln|tgx + secx|
Так, стоп, а где +С? Дело в том, что сейчас мы подбираем УДОБНУЮ функцию, то есть максимально простую подходящую. Нам, в данном случае, неудобно брать +С.
v = tgx + secx
Теперь подставляем в
cosx - u'v = 0
cosx - u'(tgx + secx) = 0
u'(tgx + secx) = cosx
du/dx = cosx/(tgx + secx)
du/dx = cosx/(sinx/cosx + 1/cosx)
du/dx = cos²x/(sinx + 1)
du/dx = (1-sin²x)/(sinx+1)
du/dx = (1-sinx)(1+sinx)/(sinx+1)
du/dx = 1-sinx
du = (1-sinx)dx
Интегрируем
u = x + cosx + C
Тут уже пишем +С, так как тут вам не там. Ну, то есть, v — удобная функция, а u — неудобная, всё логично.
Ну и выходит, что
y = (tgx+secx)(x+cosx+C)
Так и оставим. Ну и решим задачу Коши.
y = 2, x = 0
2 = (0+1)(0+1+C)
2 = 1+C
C = 1
Ответ: y = (tgx+secx)(x+cosx+1)
Тут вроде тоже всё понятно, и ещё приводить примеры не надо
Называется этот метод решение — метод Бернулли. Мне кажется, додуматься до него было величайшим счастьем на земле.
D4. Уравнения Бернулли
Да, то был метод Бернулли, а это уравнения Бернулли.
Ну это когда в уравнении у игрека есть какая-то степень.
Раскроем скобку.
y' = -y(1+xy²)
y' = -y - xy³
y' + y = xy³
Заметим, что y = 0 это одно из решений, запомним и разделим всё уравнение на y²
y'/y³ + 1/y² = x
А теперь возьмём замену.
v = 1/y²
v' = (1/y²)' = -2y'/y³ =>
y'/y³ = -v'/2
Вас, наверное, заинтересует, какого хера я творю, и почему
(1/y²)' = -2y'/y³, а не
(1/y²)' = -2/y³.
ОБЪЯСНЯЮ.
y — это функция, а не независимая переменная, то есть по факту мы дифференциируем сложную функцию.
Ладно, давайте дальше.
y = 1/v
y' = -v'/v²
y'/y³ + 1/y² = x
-v'/2 + v = x
Ну это у нас линейное неоднородное вроде. D3, по этой статье. Значит, нужен метод Бернулли. Но букву v мы уже использовали, потому что пидорасы. Придётся использовать другие буквы.
Пусть
v = tr,
t — удобная функция,
r — неудобная (это моя собственная терминология, не надо её использовать)
v' = t'r+tr'
-v'/2 + v = x
-tr'/2 - t'r/2 + tr - x = 0
-tr'/2 + r(t - t'/2) - x = 0
t - t'/2 = 0
-tr' - x = 0
t - t'/2 = 0
t = t'/2
t = e^(x/2) (простите, что без решения)
-r'(e^(x/2)) - x = 0
r' = -x/(e^(x/2))
dr/dx = -x/(e^(x/2))
dr = -x(e^(-x/2))dx
ИНТЕГРИРУЕМ.
Я снова заскриню вольфрам
r = 2(x+2)e^(-x/2) + C
v = rt = (2(x+2)e^(-x/2) + C)e^(x/2)
v = 2x+4+Ce^(x/2)
y = 1/v
y = 1/(2x+4+Ce^(x/2))
Ответ: y = 1/(2x+4+Ce^(x/2))
Так, вы, наверное, не совсем поняли основную часть метода. Чтобы решить уравнение Бернулли, то есть уравнение с игреком в какой-то степени, нужно разделить всё на игрек в максимальной степени и ввести замену.
Вот что написал сам blackpenredpen по этому поводу:
D5. Уравнения в полных дифференциалах.
Сейчас я покажу вам цыганские фокусы.
d(uv)/dx =
(uv)' = u'v + uv' =
vdu/dx + udv/dx =
(vdu + udv)/dx =>
d(uv) = vdu + udv, и, наоборот,
vdu + udv = d(uv)
Наверное, это скорее свойство дифференциалов, которое подогнали под производные, а не наоборот.
Вот вам ещё несколько свойств:
du + dv = d(u+v)
du - dv = d(u-v)
vdu + udv = d(uv)
(vdu - udv)/v² = d(u/v)
Используя их, можно решить любое уравнение в полных дифференциалах.
Это такие уравнения, в которых
Pdx + Qdy = 0
Где P и Q — функции, зависящие и от у, и от х.
И есть ещё одно условие.
∂P/∂y = ∂Q/∂x
Знаете же частные производные? Хотя я никогда не объяснял, так что стоит это исправить.
Производные — это когда взяли функцию и нашли от неё производную, но бывает, что функция зависит от нескольких переменных.
И у таких функций есть частные производные — то есть такие производные, у которых одна переменная воспринимается как переменная, а другие — как коэффициенты.
Обозначаются такие производные как
∂f/∂x, то есть вместо привычной d пишут ∂.
Например, если f = 3x² + 5xy + 66y²
df/dx = 6x + 5y + 0
df/dy = 0 + 5x + 132y
Так вот.
Уравнение в полных дифференциалах — это когда
Pdx + Qdy = 0
∂P/∂y = ∂Q/∂x
Это уравнение в полных дифференциалах. Проверим.
∂(siny — ysinx)/∂y = cosy - sinx
∂(cosx + xcosy)/∂x = -sinx + cosy
Это абсолютно равносильные выражения.
Теперь давайте работать.
(siny — ysinx)dx + (cosx + xcosy)dy = 0
sinydx — ysinxdx + cosxdy + xcosydy = 0
sinydx + yd(cosx) + cosxdy + xd(siny) = 0
(sinydx + xd(siny)) + (cosxdy + yd(cosx)) = 0
Тут применяем дважды формулу произведения
(sinydx + xd(siny)) + (cosxdy + yd(cosx)) = 0
d(xsiny) + d(ycosx) = 0
d(xsiny + ycosx) = 0
Интегрируем!
xsiny + ycosx = C
Ответ: xsiny + ycosx = C
Игрек вы тут никак не выразите, так что это ответ.
Удивительно, но такой же ответ получается, если просто перенести одну из скобок в правую сторону и проинтегрировав, игнорируя не подходящие под дифференциал переменные как коэффициенты.
Возможно, это работает для всех уравнений в полных дифференциалах.
D6. Уравнения в неполных дифференциалах.
В общем-то, это уравнения типа
Pdx + Qdy = 0
Но только
∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x
Решаются эти уравнения умножением на интегрирующий множитель. Это такая херня, а, точнее, функция, при умножении всего уравнения на которую, мы получаем уравнение в полных дифференциалах. Вот так:
UPdx + UQdx = 0
∂UP/∂y = ∂UQ/∂x
Ну разве не прелесть? Удивительно, но так действительно бывает. Причём, вроде, всегда.
Там ещё автор оставил подсказку, что интегрирующий множитель должен быть в виде
Ну давайте подбирать. Для начала проверим, что множитель вообще нужен.
∂(4x² — 10y)/∂y = -10
∂(2x³/y — 15x)/∂x = 6x²/y — 15
Что-то прям совсем не то.
Воспользуемся подсказкой? Тут мне, пожалуй, придётся взять тетрадь.
В итоге получаем уравнение
(4x³y² — 10xy³)dx + (2x⁴y — 15x²y²)dy = 0
4x³y²dx — 10xy³dx + 2x⁴ydy — 15x²y²dy = 0
y²d(x⁴) — 5y³d(x²) + x⁴d(y²) — 5x²d(y³) = 0
(y²d(x⁴) + x⁴d(y²)) — 5(y³d(x²) + x²d(y³)) = 0
d(x⁴y²) — 5d(x²y³) = 0
d(x⁴y²) — d(5x²y³) = 0
d(x⁴y² — 5x²y³) = 0
x⁴y² — 5x²y³ = C
Ответ: x⁴y² — 5x²y³ = C
Красива.
А теперь решим такой же, только без подсказок.
Красиво, вот только тангенс лучше расписать через синус и косинус. Ну и скобки хорошо бы раскрыть.
2xdx + cosydx + x²sinydy/cosy + cos²ydy = 0
Что сразу бросается в глаза? Тут есть 2x и x². Это не спроста. А ещё тут очень много косинусов. Возможно, вам захочется умножить всё на cosy. Но тогда мы получим дохера большие степени там и тут.
А давайте всё разделим на косинус???
2xdx/cosy + dx + x²sinydy/cos²y + cosydy = 0
d(x²)/cosy + dx — x²d(cosy)/cos²y + d(siny) = 0
Как вы видите, два дифференциала мы полностью скомпоновали, а два ещё имеют лишние множители. Поэтому раскидаем их по сторонам.
d(x²)/cosy — x²d(cosy)/cos²y + dx + d(siny) = 0
Возможно, если вы решали это на бумаге, то заметили, что очень выгодно привести первые два слагаемых к общему знаменателю.
(cosydx² — x²dcosy)/cos²y + dx + dsiny = 0
Заебись, чистейшая формула.
d(x²/cosy) + dx + dsiny = 0
d(x²/cosy + x + siny) = 0
x²/cosy + x + siny = C
Тут даже можно попробовать разделить переменные, хотя вряд ли. В общем-то, так тоже неплохо.
Ответ: x²/cosy + x + siny = C
Я устал. Наверное, на этом я закончу статью. Но, думаю, я оставлю вам скрины файла, чтобы вы могли порешать сами. И, наверное, нужно сказать спасибо blackpenredpen за задачи.
