Факториалы и их обитания ареалы

Привет люди или кто вы там. Я тут впервые как автор. Сейчас я расскажу о том как быстренько в уме находить приблизительное значение огромных факториалов(n!, n ≻≻１). Дело было в стране Мынки(официальная беседа группы), я предложил моим товарищам найти способ находить огроооомные факториалы. Начнём по хронологии: сначала появилось n^n/2...

Дело в том, что n! это произведение членов ряда:

1, 2, 3 ... (n-1), n

И кое-кто предложил так и умножать, первое с последним, второе с предпоследним и т. д., первое это n и произведение каждой пары из n/2 пар будет n^n/2 то есть мы находим число, которое в теории чуть меньше чем n!
Можно и начать с ряда 2, 3... n: тогда выйдет (2n)^(n-1)/2.
Посмотрим для числа n=6500. n!=10^21963=E21963 (приблизительно, не писать же мне все 22 тысячи цифр)
2n^(n-1)/2=E13370
Н-да не густо…

Следующий способ. А давайте быть хитрее, начнём с середины. Вот теперь наш ряд: (n-1)/2, n/2, (n+1)/2….
И так влево, вправо, влево, вправо… Можно даже доказать что для n>=1... Погодите, но ведь факториал не может быть, к примеру отрицательным числом, зачем я так обуславливаюсь? Чтобы потом перейти к гамма-функции, не пугайтесь, это почти тот же факториал, лишь не только для натуральных, но и для действительных(и даже комплексных) чисел, комплексов у вас, сегодня, не будет, не бойтесь. Проще говоря n! = Г(n+1)

Ну так вот, можно доказать что для n больших одного: n! < (n/2+1)^(n-1)
Делается это следующим образом:
Сначала давайте посмотрим на нечётное n. Это ряд:
1, 2 ... (n+1)/2... (n-1), n

Для понимания с n=7 :
1, 2 ... 4 ... 6, 7

Добавляем ещё множитель — (n+1)/2, он же C.
Мы все знаем, что квадрат числа больше, чем произведение чисел чуть правее и чуть левее, перефразируем в формулу, где C - константа: (C-x)(C+x)=C^2-x^2
Значит максимально значение при x=0. И правда, 7*7 больше чем 6*8, да неужели?

Значит n/2 раз по квадрату от (n+1)/2, то есть ((n+1)/2)^n, больше чем n!*(n+1)/2
((n+1)/2)^n > n!*(n+1)/2
(n+1)/2^(n-1)>n!
Доказательство почти того же, только для чётных n я оставляю для вас.

Чем больше n, тем меньше пропорциональная разница между факториалом и нашей новой формулой. Если не верите, то, по крайней мере, я доказал что n! где-то между (n/2+1)^n и n^n/2. Вообще, если честно, любое выражение типа ((n+C)/2)^n, где C — константа, рано или поздно больше, чем n!, так что для удобства подсчёта, я предлагаю , для больших чисел, использовать (n/2)^n.

Снова проверим для факториала 6500, 3250^6500=E22827, уже намного ближе к E21963.

И что же легче приблизительно подсчитать, (2*10^6)! или (10^6)^(2*10^6) ? Естественно, второе! 6 нулей по 2 миллиона раз это примерно E12000000. Это около 12 миллионов цифр. Так, оказывается, можно очень быстро считать в уме.

Хотите больше точности ? Внезапно появляется некий студент Кирилл(любое совпадение с реальностью - совпадение) и он такой: а знаете про формулу Стирлинга? И такой говорит, что Г(n+1)=√(2πn)*(n/e)^n

После этих слов я умер, морально...

У числа по этой формуле с факториалом 6500 совпадает количество цифр (21964) и первые 4 цифры. Также рассмотрим с 11:
11! = 39916800
По формуле: 39615625,05...

По этой формуле всегда будет число чуууууууть меньше, чем факториал. Чем больше n, тем выше пропорциональная точность. Вы только посмотрите на график ниже! Правда, по этой формуле намного сложнее считать, нежели по предыдущей, но это всего лишь тонкости…

Как вам введение в гамму-функцию на, вроде как, понятном примере? Если хотите, я докажу почему же эта формула такая точная, если, конечно, не боитесь. Это будет долгий и не простой путь...

Моя первая мини-статья!