Буль буль буль буль буль буль буль буль буль буль буль буль буль буль [Кстати эта статья опять про суммы квадратов]

Всем привет, давненько у нас в паблике не выходило статей. А в большей степени давненько не выходило статей, написанных мной. Уже почти год, на удивление. А поскольку меня в последнее время тянет хоть немного поматематичить, я решил исправить это.

Не знаю, правда, насколько это решение заимеет публичность, в последний год я не раз пробовал написать вам статью, а статей, как вы видите, таки-нет. В частности, из-за того, что моя математическая самооценка шагнула в бездну. Но на этот раз я всё же постараюсь довести всё до конца

Так получилось, что мы в нашем паблике раз от раза приходим к одним и тем же темам, хотя, казалось бы, занимаемся различными вещами. А может быть, и нет. В частности, очень часто поднималась здесь тема с суммой квадратов натуральных чисел. Насколько я помню, не меньше, чем в четырёх постах мы обсуждали тождество Брахмагупты, раз от раза уходя всё глубже.

Другая история, продолжающаяся в паблике уже больше года — это магические квадраты. Это, кроме того, единственная математическая штука в моей жизни с июля 2021. Мы всё ещё решаем открытую проблему математики, связанную с магическими квадратами, и достигли с ней некоторых успехов.

И во время изучения магических квадратов, настолько часто пришлось столкнуться с выражениями типа a²+xb², что я решил изучить их глубже. Об этом я бы и хотел поговорить в текущей статье. Прошу прощения за утомительно долгое введение

Вспомним то, что было

Когда я был совсем маленький, как сейчас, но младше — примерно десять лет назад, мы с родителями жили в квартире, и я ходил выгуливать кошку во двор. Во дворе была большая земляная гора, которая вела куда-то на другую улицу, которая, очевидно, была значительно выше нашей. И кошка убегала на эту гору, так как это было дикое место, относительно детской площадки, к которой гора прилегала. Или же площадка была более диким местом. В любом случае, на горе кошке было явно веселее, из-за чего она туда убегала, но потом всегда возвращалась.

И вот однажды она ушла и не вернулась. А, что важно, на этой горе раньше постоянно бывали собаки. Стаями. Но я отпускал кошку туда потому, что собак давно не было. Кошку, кстати, звали Ляля. И вот когда Ляля не вернулась, я пошёл её искать. И слышу, кто-то в кустах сидит, смотрю: а там здоровенная морда. Сначала подумал: «ничего себе как моя кошка разрослась за этот час», а потом понимаю, что это не моя, и не кошка. А моя кошка сидит на дереве, около которого её и поджидает эта морда — собака. Я тогда боялся собак, и знал, что от собак нельзя убегать, поэтому спокойно испуганно пошёл вниз на площадку, куда они не заходили. Но похоже её я не интересовал, а интересовала Ляля, сидящая на дереве.

Происходящее заинтересовало мальчишек у нас во дворе и мы стали готовить рейд, а потом приехал папа, отогнал собак, залез на дерево, снял кошку в рюкзак и, в общем-то, всё. Это если максимально кратко, на самом деле история была чуть более долгой и длилась до самого вечера. Не знаю, как это связано, но с тех пор я перестал бояться собак и научился их отгонять.

Это не то чтобы было в плюс этому миру, ведь через пару лет я задумал использовать свои навыки, чтобы создать оседлать какую-нибудь собаку, а в перспективе — создать армию наездников, вооружённых шариками из засохшей грязи. Да, тогда я лепил шарики из грязи и любил месить глину… Мы уже жили не в квартире, а в частном доме.

Вспомним то, что было, и относится к теме

Но, наверное, называя раздел статьи «Вспомним то, что было», я собирался писать в нём что-то связанное с суммами квадратов, а не рассказывать историю про кошку и собак. Постараюсь достичь поставленной цели в этом новеньком разделе.

Итак, давайте по порядку. Суммой квадратов в этой статье я называю выражение вида
a² + b²,

где a и b — целые неотрицательные числа.

Чем эти числа примечательны? Тем, что называется тождеством Брахмагупты. Предположу, что вам удобнее будет прочитать математическую выкладку с моими комментариями, чем текст с неприятно оформленными математическими выражениями, и оформлю это в матче.

То есть, произведение двух сумм квадратов представляется как сумма квадратов, причём двумя способами.

Что ещё можно вспомнить? Все простые вида 4k+1 представляются как суммы квадратов единственным образом. Это сложно доказать, поэтому просто возьмём как данное.

Потом мы пробовали через гауссовы числа ответить на более сложный вопрос: сколькими способами представляется вообще каждое натуральное число в виде суммы квадратов?

Это, помнится, было в статье №3 по магическим квадратам. Опять же, не хочется углубляться в подробности. Оказалось, что ответ на заданный вопрос выше есть, и чтобы его получить, нужно лишь факторизовать число.

Несмотря на то, что в моих исследованиях и баловствах очень много и часто использовалась факторизация натуральных чисел, мой взгляд на факторизацию очень изменили те три дня, когда я в рамках предмета «Основы кибербезопасности» взламывал RSA.

Во-первых, мой мозг после фразы «нужно лишь факторизовать число» закричал: «Ааааааааааааааа, идиот! Какое всего лишь? Это невозможно!»

А во-вторых, просто забавный факт, которым хочу поделиться: найти НОД двух чисел алгоритмически гораздо более просто, чем найти наименьший делитель любого из них. Поэтому остерегайтесь не взаимно простых чисел в алгоритмах шифрования. И используйте это знание в своей жизни, мне, например, оно позволило значительно ускорить алгоритм перебора магических квадратов

Извините, отвлёкся. Итак,

Всё же очень рекомендую посмотреть, как это работает, в статье выше. Продублирую ссылку на неё ещё раз. С другой стороны, в рамках данной статьи это, наверное, и не нужно. Или нужно. Я пока не придумал.

Пожалуй, это всё, что я могу вспомнить по суммам квадратов из того, что мы разбирали. Пойдёмте дальше.

Вставим k

Давайте теперь возьмём и вместо просто a²+b² рассмотрим a²+kb²

То есть в точности то же самое, только с k. Множество чисел вида a²+kb² замкнуто относительно умножения для каждого k. Будем обозначать такие множества как

Заметим, что если k делится на квадрат, то множество этого k включено в другое подобное множество.

На каки посмотрели. Я собираюсь построить эту статью по принципу увеличения сложности повествования, поэтому мы к ним ещё вернёмся, а пока пойдём дольше. Главное, что я хотел показать: суммы квадратов лишь частный случай рассмотренного нами закона

Вставим n

Для более общего случая, который мне удалось вывести, и который я активно использую, введём и более общее множество:

Как вы можете заметить, Кака это Мынка при n = 1. Чтобы я показал обобщение в полной мере, выведем последовательно четыре утверждения:

Первое нам уже знакомо, это произведение двух как, поэтому я запишу его без доказательства:

Четвёртое утверждение такое же, но мы Мынку и Каку меняем местами.

Соберём их все вместе и сделаем выводы

Это называется «Множества M[n,k] и M[1,nk] составляют мультипликативную группу». Вроде.

Я надеюсь, подобные обозначения вас не запутали, и вы всё ещё видите в этой записи разнообразные числа вида na²+kb² и a²+nkb².

- Куда тебя использовать, куда тебя использовать?

Один из моих любимых анекдотов, хотя я не смог довести шутку до чего-то стоящего…

В процессе работы с магическими квадратами, постоянно приходится сталкиваться с уравнениями в целых числах типа
x² + 35y² = z²

Для которых нужно найти хотя бы частные решения относительно x, y, z.

В таком случае можно предположить, что
z = 7a² + 5b²,

и тогда

То есть существует по крайней мере решение
z = 7a² + 5b²
x = 7a² -5b²
y = 2ab

для любых a, b, что генерирует бесконечное множество решений

И другой вариант:
z = a² + 35b²

Откуда получаем решение
z = a² + 35b²
x = a² -35b²
y = 2ab

Не исключено, что мы даже покрыли все решения этого уравнения. Доказать не смогу.

Этот подход, когда мы генерируем подобное через подобное, называется прыжками Виета, насколько я знаю. Те 4 правила, что мы вывели выше, позволяют обобщить его на очень широкий спектр уравнений

Эту статью я завершу. В следующей, если мне хватит сил, попробуем построить свой вариант гауссовых чисел, который можно будет использовать для изучения «как» и «мынок».