Делаем что-нибудь

Всем привет в новом году. Я, похоже, совсем забил на паблик на каникулах, пишу уже с периодичности админов Информатики для долбоёбов, и, в принципе, я не раскаиваюсь. Мне просто кажется, что я не знаю математику, поэтому как я могу о ней кому-то рассказывать. А ещё в последнее время я плохо формулирую мысли, и это вообще пиздец, когда пишешь статьи.

Короче да, я загнал себя дальше некуда, но, если вас это успокоит, вчера я написал вариант ЕГЭ из своего сборника и сделал это на 100 баллов. Всего за 2 часа 30 минут. Правда, вариант был простым. И, наверное, можно его разобрать. Частично.

Отобрал для вас наиболее интересные задачи, с остальными вы, думаю, справились бы и без меня [и я не говорю, что вы не справились бы без меня с этими, но контент делать надо].

Не думаю, что это сильно сложная задача, но давайте разберём.

Любые круги по определению подобны друг другу. Коэффициентом подобия будет отношение их радиусов. У внутреннего круга радиус 3 клетки, а у внешнего 5.

Площади любых подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате. То есть, в нашем случае, 9:25. Значит, у большого круга площадь 25.

А у заштрихованной фигуры площадь 25-9 = 16. И в ответ мы запишем 16.

Короче, хз, что вам сказать. Я ненавижу теорию вероятности, но она кажется мне прикольной.

Начнём с того, что нам тут напихали ненужных данных. 95 см — это знать не нужно.

Всё, что нас интересует, это то, что у Оли 3 попытки, и то, что вероятность при каждой отдельной попытке 0,4.

Знаете же, что в теории вероятности можно только складывать или умножать.

Если складывать, то получится 1,2. Не знаю, как вы считаете, но по-моему маловероятно, что вероятность может быть больше, чем 1. Что-то не сходится.

Если мы умножим, выйдет 0,064. Честно, не думаю, что от того, что Оле дали ещё попыток, общая вероятность уменьшилась. Я понимаю, что там всякие человеческие факторы и всё такое, но составители ЕГЭ думают, что Оля — робот, поэтому и мы должны считать также.

Казалось бы, нам больше ничего не остаётся.

Но есть ещё вероятность того, что Оля тупая шлюха и зачёт не сдаст.

Она равна 1-0,4 = 0,6. Не думаю, что вам придёт в голову складывать её, а вот умножить можно.

Выйдет 0,216. Это вероятность того, что Оля трижды тупая шлюха и трижды не сдаст зачёт. По секрету, 0,064 — вероятность того, что она его трижды сдаст.

Ну а вероятность того, что она сдаст хотя бы один раз: 1-0,216 = 0,784.

Это ответ.

По 6 задаче: знаете же, что любой треугольник делится тремя средними линиями на четыре равных треугольника? Соответственно, одна средняя линия отсекает один такой треугольник, а в трапеции остаются три других таких треугольника. 40/4 = 10. 10*3 = 30.

В крайнем случае, можно построить любой удобный треугольник и посчитать самому.

Ответ: 30.

№7 тоже несложная. Прямой у = 8х+8 параллельна любая прямая вида у = 8х+а.

А дальше приравниваем.

х²-3х+8 = 8х+а
х²-11х+8-а = 0

Чтобы эта прямая была касательной, она должна иметь всего 1 одну точку пересечения. Проще говоря, дискриминант конечного уравнения должен быть равен 0.

Так что а нам даже не нужно искать.

Ну и, соответственно, единственный х = 5,5. Это ответ

Тут, как вы можете догадаться, нужно составить неравенство. Предположительно, подобную ОГЭшную задачу с равенствами заменили в ЕГЭ на эту назло феминисткам.

ε/(R+2) ≤ 0,1ε/2

ε хоть как больше 0, поэтому можно сократить левую и правую части на ε, не меняя знак.

1/(R+2) ≤ 1/20
R+2 ≥ 20 для R>-2 [если вам это непонятно, лучше перенести всё влево и привести к общему знаменателю]
R≥18

Ну и, соответственно, Rmin = 18. Это ответ.

11 задание на арифметическую прогрессию, весьма несложное. Напомню вам, что S = (a[1]+a[n])n/2.

Из условия,
S = 390;
a[1] = 12;
n = 10.

Нужно найти a[n].

Подставляем и решаем простейшее уравнение.

Ответ: 66

12 задание на производные.

Надеюсь, того опыта, что я вам дал, хватит, чтобы понять, что здесь наиболее выгодно перемножить выражения в скобках и уже после этого считать производные. Девятку можно сразу откинуть, так как её производная равна нулю.

(x-3)²(x-10) =
(x²-6x+9)(x-10) =
x³-6x²+9x-10x²+60x-90 =
x³-16x²+69x-90

y' = 3x²-32x+69 = 0

D/4 = 256-207 = 49

x = (16±7)/3 = 3; 23/3

3 — точка максимума, 23/3 — точка минимума.

Это можно понять хотя бы потому, что 23/3 в тестовый бланк вы никак не всунете.

Ответ: 3.

Думаю, 13 нет особого смысла разбирать. Там просто формулы двойного угла и формула косинуса разности, не хочу обнадёживать, но мне кажется, что эти формулы даже даются в справочном материале. Хотя, конечно, их нужно знать.

Действительно тригонометрический пиздец наступает в 14 задаче. На вычисления у меня ушло больше, чем полчаса, это была сама долгая задача из всех. Её я тоже разбирать не буду, потому что геометрическая часть там элементарнейшая.

15 задание вообще охуеть какое простое. Делать не больше 10 минут, у меня ушло в районе шести. Переносим х-2 влево, приводим к общему знаменателю, складываем однородные слагаемые, представляем числитель и знаменатель в виде скобок. Ебашим метод интервалов и пишем ответ.

На 16 остановимся.

а) Окружность кривая, но даже тут видно, что они параллельны.

Короче, поскольку это параллелограмм

BAD+ADC = 180°
BAD+2ADK = 180°
ADK = (180°-BAD)/2

Дальше:

AF = AE как касательные.
Следовательно, треугольник AFE — равнобедренный. Отсюда:
AFE = AEF
AFE + AEF = 2AEF = 180°-EAF
AFE = (180°-EAF)/2
AFE = (180°-BAD)/2
AFE = ADK.

Следовательно, FE||DK, что и требовалось доказать.

б) Треугольники AFE и ADK подобны по двум углам, так как:
AFE = ADK, что доказано выше
FAE — общий.

Из подобия:

FE/DK = AF/AD = k
6/DK = AF/12 = k

DF = DH и KE = KH как касательные, а
DK = 2DH = 2HK по свойству равнобедренного треугольника. Пусть DH = x. Вернёмся к уравнениям подобия.

k = 6/2x = (12-x)/12

Решив, получим, что x = 6, следовательно, DH = 12.

Поскольку AD = АК как боковые стороны равнобедренного треугольника равны, и AD = 12, треугольник ADK — равносторонний и, значит, все его углы равны 60°. В том числе и искомый.

Ответ: 60°

18 здесь приятно простое. Решать будем в виде графиков, ось ОХ останется на месте по канону, а вместо OY введём ось ОА.

Поэтому переносим а в одну сторону, а всё остальное в другую. Лучше начать с нижнего выражения. Это парабола и всё, что находится внутри этой параболы.

Теперь займёмся верхним. Раскроем все модули, чтобы было удобнее. Вы, конечно, можете знать, что у нас получится ромб, но лишним всё равно не будет.

И, как я сказал, у нас получится ромб и всё, что внутри ромба:

Остаётся только найти границы общей области.

Видно, что верхняя граница — 2.

А нижняя — точка пересечения нашей параболы с прямой а = х/2 — 2

Приравниваем.

х/2 - 2 = x² - 4x
2x²-9x+4 = 0

D = 81 -32 = 49

x = (9±7)/4 = 0,5; 4.

По графику видно, что точка пересечения х=4 нас не интересует,
нам подходит 0,5.

Подставим в уравнение:

а = 0,5/2 — 2 = -1,75

И тогда ответ: a = [-1,75; 2]

Скобки квадратные, так как во всех неравенствах у нас закрытый знак, то есть включает равенство.

Уф, я заебался, но давайте всё-таки разберём последнюю.

Знаете же, что если стороны треугольника а, b и с, и с — большая из сторон, то а+b>c. Иначе, когда вы возьмёте а и b и начнёте их тянуть друг к другу, они не дотянутся.

Называется это свойство неравенством треугольника.

В общем-то, в этом и заключается свойство треугольных троек, как их назвали в задаче.

Поэтому, чтобы в ряду чисел не было ни одной треугольной тройки, нужно, чтобы каждое последующее число было равно сумме или больше суммы двух наибольших чисел из предыдущих.

а) Да. 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Примечание. Если в 19 задании на вопрос ответ «Да», достаточно просто написать «Да» и привести пример. Для уверенности можно доказать, что ваш пример действительно удовлетворяет условию.

В данном случае достаточно написать: «каждое последующее число равно сумме двух наибольших чисел из предыдущих, что не удовлетворяет неравенству треугольника»

Теперь ко второму вопросу. Если у нас есть прямоугольная тройка из чисел a, b и с, так, что каждое последующее больше предыдущего (по условию, все числа разные), тогда

a²+b² = c² по теореме Пифагора.

Это будет основным свойством прямоугольных троек.

Возьмём, что у нас есть четыре числа а<b<c<d. Гипотенуза всегда больше любого из катетов. поэтому тройками могут быть либо а b c, либо a c d, либо a b d, либо b c d. При этом c может быть гипотенузой только в первой тройке, так как d>c. Тогда a b d отлетает, так как a b уже соответствует с.

Тогда остаётся всего два варианта. И они друг друга взаимоисключают. Так как c d может соответствовать либо a, либо b, но не то и другое сразу.

Следовательно, ответ на вопрос б — нет.

Примечание. Если ответ на вопрос в 19 задании «нет», нужно написать «нет» и доказать, что «нет». В данном случае стоит переписать на лист всё то, что я написал выше.

И последний вопрос. Тут от нас ждут число. И доказательство того, что ваш ответ верный. В нашем случае, что то число, что мы напишем — действительно максимум.

Возьмём два разных числа а<b. Пусть b — гипотенуза равнобедренного треугольника с катетами а

b² = a²+a² = 2a²

И пусть третье число, с, гипотенуза для a b:

c² = a²+b² = a²+2a² = 3a²

Это будет первая прямоугольная тройка.

А четвёртое, d, гипотенуза для a c:

d² = a²+c² = 4a²

Это была вторая тройка.

Пятое, e, гипотенуза для a d.

e² = a²+d² = 5a²

Обратим внимание, что 5а² = b²+c². Это значит, что мы имеем уже 4 тройки.

f² = a²+e² = b²+d² = 6a² [+2]

g² = a²+f² = b²+e² = c²+d² [+3]

h² = a²+g² = b²+f² = c²+e² [+3]

j² = a²+h² = b²+g² = c²+f² = d² + e² [+4]

9 чисел есть, считаем, сколько у нас получилось. Получилось у нас 16 троек.

Хорошо бы доказать, что это действительно максимум. Я строил дерево вариантов, через которое показал, что наибольшее количество вариантов достигается, если идти каждый раз прибавляя по а², мне кажется, это бы сошло за доказательство.

В общем, в в надо написать всё то, что я написал выше + доказательство.

Спасибо всем, кто прочитал эту статью до конца. Серьёзно, я ценю эту