Int19. Вычисление объёма непонятной херни через интеграл.
Че там на календаре? Тридцать первое? Год подходит к концу? Хз как у вас, но по-моему, этот год был сверхохуительным. Но сейчас не об этом. Кажется, я обещал закончить с интегралами в этом году? Вообще я бы мог продолжить ещё, там есть всякие темы типа общего и частного дифференциала, соответственно производные и интегралы от функций с несколькими переменными и всё такое. Но, буду честным, я тупое чмо и сам эти темы не очень знаю. Так что почему бы нам не закончить этот курс вместе с этим годом? Звучит неплохо, а?
И что нам с вами делать под Новый год, как не интегрировать тюбик? А? А? А? Разумеется, больше делать нечего, а, значит, этим мы с вами и займёмся.
Все же хоть раз в жизни видели тюбик? Это такая ебучая хуйня, выглядит примерно так:
Если пытаться описать его математически, то это окружность, которая переходит в всё более уплощающиеся овалы. Да, я не умею описывать предметы математически, но, в принципе, то, что я написал, поможет нам написать формулу тюбика.
Возьмём грубо, что любая прямая на поверхности тюбика — прямая. Ну, то есть, он прямой. Типа конус, только не конус. Пиздец я сегодня красноречивый.
Значит, я придумал своим больным разумом тюбик и решил начертить его проекции на оси.
Третью проекцию я не стал чертить, ибо нахер?
Дальше думаем логически. Уравнение окружности:
y²+x² = r², где r — радиус окружности.
В нашем случае,
y²+z² = r², при чём r зависит от х.
Но у нас не окружности, а овалы. Овалы — это сплюснутые круги, так ведь? А как сплюснуть какую-нибудь фигуру? На опыте параболы, гиперболы, прямой и прочей поеботни — добавить коэффициент к какой-нибудь из переменных. Не знаю, как вы, а я хочу так:
y² + (kz)² = r²
Да, кстати, k тоже зависит от х.
Я долбился с этим недели, а потом понял простейшую истину:
Максимальное kz должно быть равно максимальному у. Если у это х/2, а z это
(x-7)/12, то k это y/z, то есть 6х/(х-7).
Ну а радиус — это максимальное значение у, то есть х/2.
Тогда общий вид уравнения тюбика:
Ну а теперь делать нехер, осталось только написать интеграл. Тройной, как мы делали в позапрошлой статье. А для этого ограничим функции по осям.
И интеграл принимает вид:
Прежде чем интегрировать: каждая переменная не подходящая дифференциалу рассматривается просто как коэффициент.
Начинаем.
Пришлось, правда, пять раз написать одну и ту же невъебенную хуетень. Можно было ввести замену.
Двойку можно сразу же вытащить за пределы интеграла. Само выражение под корнем давайте запишем через замену.
Вы спросите, почему я вынес b со знаком «-». Обратите внимание — b на нашем промежутке всегда отрицательно, и при этом оно стоит под корнем. По-хорошему, вместо -b там должен быть модуль b, но нам это не нужно.
А дальше ещё веселее.
Ну и последнее, самое приятное:
Вот и всё. До следующего десятилетия!
Предыдущая статья:
Int18. Дифференциальные уравнения
Первая статья: