Int12. Интегралы элементарных функций и их простейшие свойства
Всем привет. Сегодня работаем быстро, потому что тема до пизды скучная и простая, но довольно объёмная. Разберёмся с интегралами от элементарных функций, посмотрим их основные свойства.
Как и для производных, для интегралов существует своя таблица элементарных функций. По сути, это просто повёрнутая таблица производных, но где-то взятая в более общих случаях. Очень много арксинусов и натуральных логарифмов, модулей и непонятных дробей.
Надеюсь, все понимают, как пользоваться таблицей, не хочу тратить на неё время, но по ходу интегрирования постараюсь обратить внимание на все важные нюансы.
Все интегралы, которые мы будем с вами решать, можно свести к табличным.
Вообще, на начальном этапе всё как с производной:
— сумма интегралов равна интегралу суммы
— отсюда, все непеременные коэффициенты, относящиеся к функции, можно вынести за знак интеграла
Оба свойства я отразил в таблице, они до пизды простые, так что давайте, не останавливаясь, нарешивать.
Интеграл от дроби это самая хуёвая хуйня из всех хуйнь, что можно себе представить. К каждой нужен свой подход.
Эта решается весьма и весьма просто и я показал решение, но всё-таки пришлось совершить много действий.
Здесь я вынес общий множитель из числителя, частично сократил со знаменателем, тем самым пришёл к более простой дроби. Но интеграл от неё мы не знаем, а найти хочется. В таких случаях очень удобно прибавить и вычесть одно и то же число (а иногда можно и функцию), чтобы сократить со знаменателем и получить более простую дробь.
Я прибавил и вычел 8. Как вы видите, получились две табличные функции, проинтегрировать которые проще простого. Так и живём.
Теперь давайте что-нибудь посложнее. Как вы относитесь к котангенсу? Хочу с вами его проинтегрировать.
Я, наверное, должен напомнить вам важнейшее свойство дифференциала:
df = f'(x)dx, или
f'(x)dx = df
Я написал одно и то же с двух разных сторон, чтобы вам было проще ориентироваться. Не путайтесь
Наверное, вы ждёте, что я что-нибудь объясню.
Что я сделал?
По поводу первой строки вопросов возникнуть не должно, но если кто-то из вас не понимает, почему F(x) равно интегралу из f(x)dx, то какого хуя он(а) читает эту статью. Иди читай предыдущую.
То, что котангенс равен отношению косинуса к синусу знают уже в восьмом классе.
Третья строка — производные (хотя, на деле, обратная производная, то есть интеграл элементарной функции, но не суть), производные мы разобрали от и до, по ним вообще никаких вопросов быть не может.
Четвёртая строка — та самая формула с дифференциалами, которую я написал выше.
Пятая строка идёт как обобщение всего, к чему мы пришли раньше.
В шестой я ввожу замену. В интеграл, в отличие от производной, замену можно вводить. Нет никаких внешних и внутренних функций, ничего не нужно перемножать, всё едино. Проблема может возникнуть лишь в том, что у вас в дифференциале стоит не та переменная, которую вы ввели в функции. Но об этом мы будем говорить позже, здесь у нас всё красиво и прилично.
Седьмая строка — табличный интеграл.
Находим его, раскрываем замену. Первообразная успешно найдена. Я даже горжусь собой.
Предыдущая статья:
Int11. Первообразная и неопределённый интеграл
Следующая статья: