Гипермегасуперсукаблять охуительная задача
Не знаю, может быть вам не зайдёт, но мне очень нравится решать задачи, в которых используются разделы математики огромными кучами, геометрия, матан, триган, алгебра, ебаная комбинаторика и хуй знает, что ещё. Как вы догадались, сегодня я буду решать именно такую задачу, прямо у вас на глазах. Цыганские фокусы, бля.
Условие следующее:
Есть ебаный в жопу шар с дыркой. Дырка в форме цилиндра, причём объём цилиндра 10 мл. Хз нахера такую хуйню сделали, меня не ебёт. Дырка, кстати, несквозная, но максимально длинная, забыл сказать. Нужно найти отношение радиуса шара к радиусу дырки, если известно, что внешний объём этой штуки максимален.
Тем, кто хочет решить эту задачу сам, советую на этом месте закрыть статью, и вернуться позже, чтобы свериться. Остальным я объясняю
Предлагаю перевести эту запись на человечий. Мы будем работать с шаром, в который вписан цилиндр, отсекающий от шара сегмент — ту часть, которую в итоге мы должны будем не учитывать. Объём цилиндра задан, объём всей фигуры (шара без сегмента), по условию, должен быть максимальным. Найти, как было сказано, нужно отношение радиуса шара к радиусу цилиндра. Давайте рисовать.
Нам известен объём красной части, а общий объём фигуры — максимальный.
Заметим, что если r — радиус шара, то
2rsinx — высота цилиндра,
rcosx — радиус цилиндра.
Кроме того, я ввёл некоторое значение h — высоту отсекаемого сегмента.
Формулы, которые нам нужно знать, чтобы решить задачу:
Предлагаю начать с цилиндра, с ним проще всего. Каждый отдельный множитель я буду записывать в скобках, чтобы вам было проще воспринимать.
Замену sinx = t мы пока оставим. Выражать r пока тоже не будем, оставим его в кубе, если нужно будет, позже подставим корень.
Теперь выразим объём всей фигуры. Ясно, что он будет равен объёму шара без объёма сегмента. Обратим внимание, что h = r — rsinx, или h = r — rt.
В конце, как видите, я вставил вместо r то, что мы получили ранее. Вышла приятненькая такая функция зависимости объёма фигуры от отношения длины цилиндра к радиусу шара. В общем-то, теперь остаётся только решать дальше.
В каких точках функция достигает максимального значения? В точках максимума, блять, название говорит за себя. А как найти точки максимума? Посчитать ебаную производную. Считаем и находим. Не забываем, что t у нас не может быть больше 1, так как это синус, и не может быть меньше 0, так как это длина, а длины всегда положительны.
С преобразованиями до производной, думаю, понятно. Их, в принципе, делать необязательно, но мне так удобнее, вместо производной дроби я искал производную сложной функции, которая считается за несколько секунд.
Возможно, вам непонятно, почему я так легко откинул (t²+t)² и 10/3, но оставил минус. Я работаю со знаками. У метода интервалов есть свойство: «Если при переменной большей степени стоит положительный коэффициент, то крайний правый знак будет «+», а остальные будут чередоваться. Если коэффициент отрицательный, то все знаки меняются на противоположные». (t²+t)² не меньше 0 при любом значении t, поэтому его можно спокойно откинуть; а -10/3 — меньше нуля при любом t, поэтому от него нужно оставить —, чтобы не забыть поменять знаки. Очень надеюсь, что это объясняли вам в школе.
Так вот, мы пришли к выводу, что чтобы объём фигуру был наибольшим, нам нужно, чтобы sinx был равен ½. По условию, нас просят (вообще-то нас никто не просит, я сам придумал эту задачу) найти отношение радиусов цилиндра и шара. Радиус шара, напоминаю — r, а радиус цилиндра — rcosx, то есть их отношение — 1/cosx.
Если sinx = ½, то cosx = √3 / 2. По моей записи, отношение следует записать наоборот, тогда
Ответ: 2/√3
Вот такая прикольная задача. Теперь вы знаете, что дарить мне на День рождения