Int14. Интегрирование по частям
Сегодня мы вновь будем сосать интеграл мат.анализа, поэтому начать хотелось бы с хорошей новости: я придумал как решить тот интеграл, с которым у нас в прошлый раз не сложилось. В этой статье как раз разберём.
Если вы внимательно посмотрите в таблицу интегралов, в третий столбик, то увидите там какие-то непонятные в пизду символы. А может быть понятные, хуй вас знает.
Так вот в третьем пункте этого столбика приведена формула, которую вам надо знать. В школах эту формулу не дают, хотя это единственное, что есть полезного у интегралов из формул.
Доказательство очень простое, но в нём используется тема, до которой мы ещё не дошли, но дойдём. Если допрёте, можете глянуть на Википедии. Я же обещаю, что докажу вам её, когда буду писать соответствующую статью.
Какой вывод можно сделать из этого?
Вы спросите: на-ху-я? Или не спросите. Но, на самом деле, это очень полезная штука.
В тех случаях, когда интеграл справа проще, чем интеграл слева. Чаще всего такое бывает, когда в интеграле есть триган или экспонента:
Вот, значит, карточка, с заданиями на интегрирование по частям:
Вот ссылка на полную версию:
http://portal.tpu.ru/SHARED/t/TOKTV/Page_4/Tab/%D0%A1%D0%90%D0%9C%D1%80%D0%B0%D0%B1(%D0%9D%D0%B8%D0%BD%D1%82).pdf,
кстати, Томского универа задания, куда я, скорее всего, буду поступать, неожиданно.
Я решу с вами 64, а остальное, если захотите, порешаете сами.
Заносим sinx под дифференциал и начинаем решать:
Как вы видите, интегрирование по частям позволяет решать такие хуёвинки очень быстро.
Называется оно так, потому что мы интегрируем по частям: сначала одну часть подынтегрального выражения, когда заносим её в дифференциал, а потом другую, когда её уже можно проинтегрировать.
А сейчас я покажу вам свой первый интеграл
Хочу вам признаться, я только сейчас понял, что можно просто подставлять функцию от t вместо х, а не выражать один дифференциал через другой. Разница не сильно большая, но прикольно.
Решение этого интеграла я написал в своём сочинении по литературе. Потом преподаватель мне искусно отомстил. Было прикольно.
Ну и наконец, моё любимое применение интегрирования с заменой:
Что тут необычного? То что вместо ответа мы получили сам интеграл с ещё какой-то хуйнёй. То есть уравнение, в котором интеграл является неизвестной. Так что чтобы его найти, уравнение придётся решить.
Используется это конкретно для этой ситуации: экспонента в какой-то степени и косинус/синус из скольки-то х. Если и экспонента, и косинус будут иметь в себе только один х, этот метод не сработает.
Вот и всё. В принципе, теперь вы знакомы со всеми основными методами интегрирования, так что добро пожаловать в жопу. Даже владея методами, можно решать интеграл годы и не решить. Иногда полезно просто забить его в онлайн-калькулятор.
Ну и по поводу нашего прошлого интеграла:
— Мы остановились на dt/sint
— Домножьте числитель и знаменатель на sint.
— Внесите sint из числителя под дифференциал. Получите -d(cost)
— sin²t = 1—cos²t. Используйте это в знаменателе
— Ну и всё. У нас табличный интеграл. Осталось решить и раскрыть замену
Предыдущая статья:
Int13. Интегрирование с заменой
Следующая статья: