Планиметрия ебать её в синус_1.

Я в пизду ебанулся и совсем перестал готовиться к экзаменам, да и вообще, мне кажется, поехал головой. Но то что я не готовлюсь к экзаменам не значит, что я не должен готовить к ним к вам {хотя вообще-то не должен, но почему бы и нет?}

Самая залупа залупинская на ЕГЭ по математике — это планиметрия. Ну может ещё задачи с параметром, но в них у вас {я не про всех, но я пытаюсь писать для большинства} никакой базы, а тут ещё можно поработать.

Я уже писал статью по планиметрии, тогда я вас учил рисовать. Теперь я буду вас учить решать. Очень быстрыми темпами, потому что нужно разобрать вообще всё, хотя я и не собираюсь ограничиваться одной статьёй.

Скажу сразу честно: план, по которому я буду писать я спиздил на одних курсах, на которые ходил на каникулах, он охуенный и сам я вам его не смог бы придумать.

Сегодня разберём треугольники.

Медиана треугольника и всякая поеботня.

Самый приятный из всех треугольников — прямоугольный. Он же один из самых популярных. В нём полно всяких интересных свойств.

Самое простое из них — теорема Пифагора, но её разбирать я не собираюсь.

Следующее свойство — медиана, опущенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. И, думаю, это не секрет,

Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади треугольника.
Аналогично, 3 медианы делят его на 6 равновеликих треугольников

И, ещё

В любом треугольнике медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.
Точка пересечения медиан в треугольнике — центр масс этого треугольника

Давайте разберём в задачах?

— Найти площадь треугольника, если две его стороны равны 2 и √60, а медиана, проведённая к третьей равна 4.

К месту, я забыл где бы-то ни было указать, что BM — медиана. Это можно сделать на самом рисунке или написать словами в условии. Или, ещё как вариант, в том же условии написать AM=MC

Площадь ищут разными способами. Тут ближе всего формула Герона или формула с синусом, но мы не знаем третьей стороны и не знаем синуса. Конечно, к ним можно прийти каким-нибудь там замысловатым способом, но мы поступим другим образом.

Есть правило:

Если у тебя в треугольнике ебучая медиана, сделай дегенератскую рожу, забудь, о чём твоя задача, и тупо дострой до параллелограмма. Жизнь станет проще.

Вот это правило запомните, его мало кто знает.

Хоть я и говорю с вами о треугольниках, нам придётся вспоминать свойства параллелограмма.

Любой параллелограмм является вписанным четырёхугольником, так как сумма противоположных углов в нём равна 180°.

А у вписанного четырёхугольника дохуя интересных свойств. В нашем случае будет очень кстати такое свойство:

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.
pq = ac + bd, где p, q — диагонали, a, b, c, d — стороны.

Применив, мы сможем найти АС, а там через формулу Герона несложно найти площадь.

Обратите внимание — вам не придётся ебаться с корнями в корне. Внутри формулы Герона, как правило, всегда можно применить формулу сокращённого умножения

(a+b)(a-b) = a²-b²

Думаю, вы её знаете. Я так и записал у себя, чтобы было удобно перемножать.

Вот вам обратная задача:

— Выразите медиану треугольника, опущенную к стороне c. Другие стороны — a и b. Все стороны считайте известными.

Вполне может быть на ЕГЭ. Я её решать не буду, потому что жопа (не задача и даже не я, просто жопа)

А вот вам такая задача:

— Площадь треугольника равна 4S/3, найти площадь треугольника, образованного его медианами.

Думаю, вы уже догадались, что ответом будет S. Давайте решать.

Так. Я не написал условие.

Вообще я нарисовал DEF только чтобы написать условие. Решать мы будем по АВС.

Помните, что точка O делит все медианы в отношении 2:1 от вершины.

А ещё помните, что мы достраиваем треугольник до параллелограмма, когда у нас есть медианы. Нам нужно получить что-то такое, что в итоге даст треугольник, равный искомый или подобный ему.

Давайте так. Пусть OB' = x, тогда OB = 2x, BB' = 3x. Удлиним этот отрезок вниз на х, то есть достроим АОС до параллелограмма.

Короче, достроили мы параллелограмм и стали смотреть. Он состоит из двух одинаковых треугольников, АОС. АОС состоит из двух треугольников, площади которых равны 1/6 от площади АВС, я писал это свойство в начале.

Заметим следующее:

Параллелограмм состоит из двух равных треугольников АОК и ОСК, следовательно, площадь каждого из них в два раза меньше площади самого параллелограмма.

В треугольнике KOC
— сторона OC — отрезок медианы, относящийся к ней как 2:3 по свойству о точке пересечения медиан.
— сторона КС равна отрезку АО, который в свою очередь относится к АА' как 2:3 по свойству о точке пересечения медиан.
— сторона ОК равна 2х, а медиана ВВ' равна 3х, поэтому ОК относится к ВВ' как 2:3.

Отсюда, треугольник ОКС подобен треугольнику DEF, площадь которого мы ищем. И коэффициент подобия у них 2/3, причём DEF больше.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому их площади относятся как 4/9.

Ну а дальше всё просто.

Как итог статьи — ходите на курсы {ну только норм курсы, я ходил пять дней, польза была только от двух}. То, что я вам сейчас рассказал — примерно 1/6 от всего того, что мне дали там. При этом я писал статью три дня, а там это всё уложили в две пары. Я физически не могу давать информацию в таких масштабах, хотя и хочу. Вот. Удачи с планиметрией, будут статьи ещё