Int2. Производные элементарных функций
А мы с вами усердно идём к решению интегралов. Но до этого ещё далеко. Зато я вполне подробно рассказал, как решать производные, или, другими словами, дифференциировать.
Сегодня мы этим займёмся. Начнём с самого простого и закончим наиболее сложным на мой взгляд. Также расскажу ещё немного по этой теме, пока буду решать.
Специально по этому поводу сделал свою собственную таблицу производных, которая смотрится, на мой взгляд, приятнее других (эстетика, хуле). Отобрал наиболее полезные функции, добавил основные формулы. Вот она:
Начнём. Для начала возьмём что-нибудь вроде (х)'. Ну тут дураку понятно, выйдет 1.
Теперь давайте вспомним, что
(u+v)'=u'+v'
и решим (х⁴+16х-14)'
А теперь посложнее:
Идём дальше. Давайте найдём четвёртую производную от cosx
Вот ещё одно примечание — производные четвёртого и большего порядков обозначаются не как f'''', а как f⁽⁴⁾. Думаю, причины объяснять не нужно.
Теперь логарифмы. Я не хочу возиться с ними, поэтому возьму lnx. Или давайте, чтобы было интересней, ln(6x). Заодно применим формулу. Итак, у нас есть некоторая функция
f(x)=ln(6x)
Мы не знаем, как это дифференциировать. Но мы знаем, как дифференциировать, скажем, ln(t).
Тогда давайте введём замену 6x=t. А точнее, новую функцию t(x)=6x
f(x)=ln(t)
Казалось бы, всё замечательно, давайте приведём к производной. Но только переменная у нас t, а функция взята от х. Понимаете, да? Так вот. Я вам писал это в прошлом посте через вариант Лейбница, в таблице производных, прикреплённой к посту написал через вариант Ньютона и сейчас напишу ещё раз и так, и так.
df/dx = df/dt × dt/dx,
то есть производная функции f(х) равна произведению производных функций f(t) и t(x). Я сейчас это написал и сам понял то, чего раньше не понимал.
(f(t(x)))'=f'(t(x)) × t'(x) — более сложная запись того, что я вам только что рассказал.
Ну а теперь, чтобы было понятно, применим в нашей функции:
(ln(6x))' = (ln(t))' × (6x)' = 6/t.
Раскрыв замену, получим 6/6х, или 1/х.
Получается интересная вещь — ln(ax)=1/x, каким бы не был а. Другая вещь: ln(ax+b), там сократить не получится. Хотя будут равны между собой при любом k производные функции ln(k(ax+b)). Ну это я увлёкся и ушёл от темы, эта информация для меня тоже новая, я её узнаю в процессе объяснения темы вам.
Хотел показать вам такую вещь:
Фух, я выдохся.
Предлагаю вам самостоятельно порешать несколько производных:
А так же решить такую задачку:
Пройденный путь тела задаётся формулой
s=7+t+4t²+9t³-3t⁴
Чему равно ускорение этого тела в момент времени t=3?
Предыдущая статья:
Int1. 4 понятия, которые мы должны знать, прежде чем работать дальше
Следующая статья: