Int7. Кратная производная произведения.

Ну охуеть блять, уже 7 статей, а мы всё сидим на производной. У нас по плану ещё применение производной и производная в ЕГЭ, и ещё обещанный десерт, и вроде всё. То есть курс производной должен составлять 8 статей. Там посмотрим. А сейчас добьём кратную производную и пойдём спатеньки.

Значит так, нам нужно вспомнить ебучую формулу Лейбница:

(uv)'=u'v + uv'

Так вот, оказывается, что ебучая формула Лейбница действует не только для обычной производной. И очень похожа на формулы сокращённого умножения. Давайте в этом с вами убедимся. Найдём

(uv)'' — ?

(uv)'' =
(u'v + uv')' =
(u'v)' + (uv')' =
u''v + u'v' + u'v' + uv'' =
u''v + 2u'v' + uv''

Видите сходство с (a+b)²=a²+2ab+b²?

Короче,

Один мой знакомый предложил мне посчитать сотую производную от какой-то хуёвой дроби. Я не смог, но довольно много узнал, в том числе и эту формулу. Ну и с её помощью сократил объём работы, но всё же недостаточно.

Давайте что-нибудь порешаем. Например, найдём

(cosx*e^x)⁽⁵⁾ — ?

Тут, кстати, будет весьма уместно примечание. Если вам когда-нибудь придётся составлять задания с производными, и вы хотите 100% красивый ответ: лучшие сочетания — это натуральный логарифм со степенной функцией и экспонента с тригонометрией. Знайте эту бесполезную информацию.

Давайте решим что-нибудь с дробью. Со сложным знаменателем мы ничего особо не решим, поэтому возьмём простой.

Как вы поняли, суть в том, что нам ни к чему решать дальше, чем нам позволяет числитель. Если какая-то его производная равна нулю, то и все последующие производные равны нулю, и все слагаемые с большими производными равны нулю. Вместо 11 слагаемых мы записали всего 3.

А сейчас я хочу выебать вам мозг. Как вы относитесь к логарифмам?

Я тут маленько затупил, стоило сначала записать все необходимые производные, а потом, при записи, сразу приводить подобные. Но суть понятна. Надеюсь.

Теперь давайте разберёмся, как это выводить.

1. В каждом слагаемом должны присутствовать все функции, находящиеся в скобках, и при том единожды.
2. Сумма порядков производных в каждом слагаемом должна быть равна заявленному порядку. При этом необходимо найти все возможные комбинации множителей. Простейшая комбинаторика
3. Коэффициенты можно списывать у формул сокращённого умножения. Другой вопрос, откуда их взять там. Это чистейшая комбинаторика, и чтобы нормально находить коэффициенты, нужно ею владеть. Но её не знаю даже я (ахах, даже), так что пошла нахуй ебаная комбинаторика блин ненавижу.

Вот и всё на сегодня, а теперь пора чистить зубки и ложиться спать)

Предыдущая статья:

Int6. Производные больших порядков

Следующая статья:

Int8. Закрепляем материал на примере функции x^x