Int6. Производные больших порядков
Что такое производная n-ого порядка? Хз, как объяснить. Ну, допустим, производная второго порядка — это производная от производной. А производная третьего порядка — это производная от производной производной. И так далее. А если рассматривать всё это «так далее» вместе, то можно объединить это всё под названием «Производные кратных порядков»
Напоминаю, что вместо кучи штрихов для больших производных пишут цифру в надстрочных скобках.
Тема до пизды объёмная, возможно, мне придётся разделить статью, хотя я не хочу. В принципе, если вы умеете находить производную первого порядка, для вас не составит труда найти кратную производную.
Но сделать это можно проще, если знать некоторые закономерности. Сегодня я буду выводить их сам и писать вам, так что учиться будем все
- Замечательная функция — экспонента:
Экспонента, то есть e^x, независимо от кратности производной, остаётся экспонентой.
- Ближайший родственник экспоненты — показательная функция
«Я люблю входить в натуральный логарифм. С каждым разом степень моего наслаждения всё больше» (с) Показательная функция
- Функции, которые пустили по кругу:
Производные sinx и cosx повторяются на каждом четвёртом порядке производной.
Кстати, за всё моё время исследований в математике, я заметил, что 4 чаще всего образует периоды. iⁿ повторяется на каждом четвёртом n, круг логичнее всего делится на четыре части, отсюда и тригонометрия повторяется на каждом четвёртом разе. В моём исследовании так же 4 чаще всего образует цикл для последней цифры.
- Отрубаем степени Иксу Горынычу сразу пачками:
Степенные функции дифференциируются кратное число раз через биноминальный коэффициент, и это здорово.
Конечно же, вы не сможете найти факториал отрицательного числа, дроби, или, чего похуже, корня/логарифма, тригонометрического или обратного тригонометрического выражения. Но суть для любой степени остаётся одной и той же, и более правильно она показана в четвёртой строчке пикчи сверху. Пиздите эти ебаные степени с помощью мегаоружия «-1»
И вот ещё одно исключение:
- Рассматриваем логарифм как еблана, который спиздил место у х⁰ :
Ни для кого не секрет, что производная от натурального логарифма — 1/x. (Если вы не знаете логарифмы, мне похуй, но если хотите узнать, пишите в лс).
И самое время вспомнить свойство логарифмов: частное от двух производных по одному основанию двух разных чисел представимо в виде одного логарифма по основанию числа из знаменателя числа из числителя. И это свойство работает в обратную сторону
Разумеется, вы нихуя не поняли, поэтому давайте сразу посмотрим на примере, а заодно увидим, как это поможет нам:
А вот всё остальное придётся считать. И, я полагаю, рассмотрим это в следующей статье.
Результат нашей сегодняшней работы: новая таблица производных.
Предыдущая статья:
Следующая статья: