Int9. Производная в ЕГЭ. Применение производной
Вообще эту тему в школе дают в самом начале, но я засунул её в конец. Наконец-то мы закончим ебучую производную.
У производной довольно много применений, например, в физике.
Но с этим и так всё ясно, а я расскажу вам о том, что есть в ЕГЭ: построение графика функции с помощью производной.
Для начала давайте усвоим один важный момент.
Почему, вы думаете, математики-хуесосы пишут у каждой функции три ебучих лишних символа? Я про f(x). Почему нельзя просто f? Вообще можно, но почему так не делают?
Очевидно, что так удобнее.
Возьмём функцию
f(x) = x³ - 3x²
Так вот, (х) пишут, чтобы в любой момент можно было сделать так:
f(1) = 1³ - 3*1² = -2
f(3) = 3³ - 3*3² = 0
f(5) = 5³ - 3*5³ = 50
и т.д.
Аналогично с
f'(x) = 3x² - 6x
f'(1) = 3*1² - 6*1 = -3
f'(5) = 3*5² - 6*5 = 45
Короче, понятно. А теперь перейдём на нашу тему.
Чем больше модуль производной, тем быстрее функция.
и, наоборот, чем меньше — тем медленнее.
Поясняю для физиков: по оси ОХ график всегда измеряется равномерно слева направо, а под скоростью подразумевается скорость изменения графика по оси ОY. Такое задание часто бывает на базе, давайте разберём, станет понятнее.
Тут, помимо прочего, следует использовать правило, которое я написал ниже, но давайте как-нибудь решать.
В точке К функция растёт (палочка касательной падает вправо), поэтому производная должна быть положительной. А ещё функция растёт в точке N, поэтому так производная тоже положительная. Быстрее она растёт в точке К, поэтому К должно быть большим из положительных, а N — меньшим.
В точках L и M функция убывает (палочки падают влево), поэтому снова выбираем, какая из них быстрее, и даём ей большее по модулю значение, а другой — оставшееся.
Ответ: 2143
Если нихуя непонятно, читайте дальше, там ещё непонятнее
Когда производная положительна, функция возрастает,
Когда производная отрицательна, функция убывает,
Нули производной — точки экстремума функции.
Если кто не знает этих понятий, объясняю. Представьте, что график — это дорога. Возникает логичный вопрос: «строители долбоёбы блять как ездить по f(x) = х³?». Но мы не будем вдаваться в подробности. Просто представьте. И представьте, что по этой дороге слева направо едет бибика.
Так вот, когда бибика едет вверх — функция возрастает, а производная находится выше нуля.
Когда бибика едет вниз — функция убывает. И производная ниже нуля.
Ещё на дороге бывают бугры и ямы. В их вершинах функция не убывает и не возрастает. А производная равна нулю.
Называются такие точки экстремумами, вершины бугров называются точками максимума, а низины ям — точками минимума.
Хотя иногда экстремальным может быть весь график, например, у=2. А может и не иметь точек экстремума.
Наверное, сложно для восприятия, давайте разберём примеры. Это используется как в базе, так и в профиле ЕГЭ
Алгоритм решения следующий:
- Находим, на каких промежутках бибика едет вверх
- Считаем, сколько столбиков с километрами (каждая клетка по оси ОХ) стоит на каждой горе
- Складываем все столбики
- (-3;0); [5;7) {если честно, я хз, как они хотят, чтобы мы понимали, входит эта точка в положительные производные или не входит, но я считаю так}
- -2, -1; 5, 6
- 2+2=4
Ловите ещё примеры:
И вот, немного посложнее:
Я бы не хотел касаться этого...
Но всё же вам необходимо рассказать о касательной к графику функции.
Касательная — это такая прямая, которая касается графика функции. Заебись, да?
А прямые у нас задаются линейной функции. В общем виде:
y=kx+b
Думаю, это понимают почти все. Но далеко не все знают, что k — это тангенс угла между прямой и осью ОХ. Это для общего развития.
Так вот, возьмём на графике функцию какую-то точку с абциссой а. И найдём касательную к этой точке.
Общий вид уравнения прямой:
у=kx+b
Так вот,
k = f'(a),
b=f(a)-f'(a)*a
В общем виде это записывают так:
y = f'(a)(x-a)+f(a)
За одним исключением: вместо a пишут х с подстрочным индексом 0, но вк не хочет воспринимать подстрочный 0, и я заменил это всё на а.
Вот блять. Я думаю, это тоже сложно для восприятия, поэтому давайте разберём ещё примеров
Вот и всё. Теперь мы можем послать нахуй ебаную производную и перейти к следующим темам. Конечно, в следующей статье мы снова будем их считать, но они уже не будут центральным элементом.
Если что-то непонятно, пишите в лс паблика, помогу разобраться
Предыдущая статья:
Следующая статья: