Когортный анализ. Демографическая пирамида

В прошлый раз мы говорили о применении статистических методов для анализа и сравнения трендов в разрезе стран и во временном разрезе. Здесь мы обсудим анализ народонаселения по когортам, который проводился только для одной страны. Когортный анализ будет дополнять сравнительный, поскольку отражает тот же процесс в более детальном разрезе.

Под когортами подразумеваются группы людей, объединенных по какому-то признаку. Чаще всего людей объединяют по возрасту, полу, месту проживания (город или деревня). За основу берутся демографические таблицы, в которых расписана численность населения всего и по категориям. Мы использовали таблицы, составленные на основании данных, предоставляемых статистическим ведомством. В прямом доступе данных во всех разрезах нет, зато их можно запросить программными средствами с указанием периода, за который данные выбираются, типов разрезов (по полу, по возрасту и т.п.). Структура запроса и ответа довольно сложная, но соответствующая международному стандарту [1] обмена статистическими данными. Эти данные мы получили и свели в таблицу при помощи собственного ПО.

Табличные данные использовались для построения графиков: демографических пирамид, графиков изменения численности когорт. Применялись и более строгие методы анализа данных. При этом решались две задачи: установить тип демографических пирамид в каждый год; проследить изменение каждой возрастной группы со временем.

Тип демографической пирамиды

Демографическая пирамида отражает распределение населения по возрастам [2]. Пирамида строится как ориентированные специальным образом гистограммы - для мужчин и для женщин [3]. Гистограмма отражает число элементов, попавших в промежуток значений. Здесь по оси Х откладывается количество элементов (число людей определённой возрастной категории), а по оси Y - промежуток значений (диапазон возрастов когорты).

Пирамиды бывают нескольких типов, которые отражают различные тенденции: “треугольная” пирамида отражает растущее молодое население, “колоколообразная” отражает постоянное, воспроизводящееся население, но не растущее. “Урна” отражает деградирующее общество.

Тип пирамиды можно определить и “на глаз”, обычно так и делают [2]. Но мы предлагаем более строгий метод. В предыдущем разделе мы использовали метод наименьших квадратов для оценки параметров функции - наклона прямой линии, например. Процедура состоит в минимизации суммы квадратов ошибок e(x, p1, …, pn), где pi - i-й параметр аппроксимирующей функции fa. Проделав эту процедуру (1) для нескольких функций, можно выбирать и вид функции, которому соответствуют представленные данные, с учётом возможной вариации параметров каждой из них. Такой подбор проиллюстрирован на рисунке 4.7 на синтетических данных.

Каждому типу пирамид мы поставили в соответствие функцию, которая изменяется похожим образом. Треугольная пирамида (прогрессивный тип) соответствует линейной функци:

стационарный тип - логарифмической:

регрессивный - асимметричной функцией, которая позволяет подстраивать ширину максимума и асимметрию. За основу взяли функцию [4], которую упростили для наших целей:

где a ≥ 0, b > 0.

Независимой переменной x здесь считается номер возрастной когорты, а зависимой - её численность. Такой метод не может считаться вполне строгим, поскольку выбранные функции отражают графическое подобие, а не теоретически обоснованное описание процесса. Но за неимением иных вариантов, подобный подход в современной науке нередко используется. После общего анализа распределения, можно воспользоваться более детальным когортным анализом.

Анализ изменения когорт

Исходные данные для анализа – таблица численности каждой когорты через 5 лет. Пять – потому что когорта охватывает людей разностью в возрасте до 5 лет. Каждый столбец - это год, в который была зафиксирована численность каждой возрастной когорты, а в каждой строке - возраст людей, составляющих соответствующую когорту. Наглядно движение группы людей по таблице можно увидеть на таблице, ячейки которой дополнительно окрашены по правилу тепловой карты: синий цвет отвечает за минимальные значения в таблице, красный - за максимальные. Фиксированная группа людей движется по таблице по диагонали: через 5 лет их численность будет отражена в столбце справа, а на строчку вниз они опустятся в связи с переходом в следующую возрастную категорию. Покажем это наглядно на примере движения когорт мужчин по всем типам местности. Для начала, зафиксируем когорты, сформированные в 2025 году. 5 лет назад те же люди были на строчку выше и т.д. Проведём диагонали, отражающие это движение:

Линиями и стрелками показано перемещение когорты по таблице. Можно отметить, что отражённая тепловой картой численность возрастных групп изменяется медленно по мере движения по диагонали, в то время как в соседних строках и столбцах различия заметно выше. Это объясняется тем, что каждая группа людей изменяется довольно медленно: убывает за счёт смертности и отчасти миграции, восстанавливает численность за счёт мигрантов.

Приведём ещё примеры по этой таблице. Зафиксируем тех, кому было в 1990м 45-49 лет, им в 2025м уже 80-85 лет. Когорте 40-44 года с 1990 к 2025му сместилась к 75-79. Тех, кому в 2025м 20-24 года, не было до 2005 года, поэтому их линия перемещения вверх по таблице заканчивается этим годом. Таким образом, мы можем зафиксировать любую группу людей и отслеживать её движение по таблице в прошлое (вверх влево) или будущее (вниз вправо). Введём обозначения для элементов этой таблицы: Cyear,cohort, year - год, в который сформирована когорта, cohort - младший возраст выбранной когорты (0, 5 и т.д. лет).

Для автоматической обработки сдвигаем вниз все когорты. Таким образом, в каждой строке содержится численность одной и той же когорты, которая в 2025м достигла возраста, указанного в серой колонке слева.

Серые клеточки со значением “nan” означают, что лица соответствующей когорты не родились ещё в этот год. Такое выравнивание позволяет посчитать разницу в численности той же самой когорты. Формально значения численности когорты, сформированной в 2025 году, в некоторый выбранный год, определяется как:

когорты, а второй индекс - год её формирования.

В этой таблице приведены цифры, отражающие разность текущей численности когорты (чей возраст на 2025 год в колонке слева) и её численности за предыдущий период. Первый столбец не заполнен, т.к. данные за предыдущий период не предоставляются в половозрастном разрезе. Каждая строка отражает изменение во времени соответствующей когорты, возрастной промежуток которой определён на 2025 год.

Чтобы уменьшить влияние случайностей на наши выводы, аналогичные вычисления были проделаны для когорт, сформированных в 2023 и 2024 годах. Кроме того, изменения численности мы проследили для таблиц, содержащих усреднённую численность когорт в промежутке в n=2 года. Численность когорты, сформированной в 2025 году, подсчитанная в год y, рассчитывалась как:

Нетрудно показать, что это эквивалентно усреднению столбцов исходной таблицы. Веса wi выбирались такими, чтобы их сумма была равна 1, чтобы не изменять средней численности. При этом, данные ближе к краю окна имеют меньший вес, т.е. влияние на результат.

Результаты когортного анализа будут дополнять сравнительный анализ по регионам, более детально раскрывая демографические процессы в отдельно взятой стране.

[1] https://habr.com/ru/articles/421027/

[2] https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/27754/1/978-5-7996-1299-3.pdf

[3] https://stackoverflow.com/questions/60969101/how-to-build-a-population-pyramid-with-python

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Nakagami_distribution#Characterization