Зачем ящику усы? Квартили распределения

Александр Сойнов & Александр Кулябин

Мы продолжаем разбираться в базовых понятиях описательной статистики. Предмет этой статьи уже вскользь упоминался нами при описании межкквартильного размаха. Сегодня же мы постараемся пояснить подробнее, о чем там говорилось.

Поехали.

Введение

Начнем с кваНтилей (не путайте с кваРтилями).

Квантили - это такие значения признака, которые делят упорядоченные данные на некоторое число равных частей. Этих частей может быть любое количество в зависимости от желания исследователя, но обычно все же используются стандартные.

А именно:

• Квантилем является изученная нами ранее медиана, которая делит значения нашей выборки ровно пополам;
• Процентили, они же перцентили. Нетрудно догадаться, что процентили делят выборку на 100 частей, а медиана соответствует 50-ому процентилю;
• Децили - делят выборку на 10 частей;
• Квинтили, секстили, пентили, дуодецили — вы можете придумать любой устраивающий ваш слух квантиль;
• И в конце концов квартили.

На квартилях остановимся поподробнее. Как понятно из первой части этого слова, они делят нашу выборку на 4 равные части. А самих квартилей, как понятно, три. Первый соответствует 25-ому перцентилю. Второй равен 50-ому перцентилю и медиане. И третий соответствует 75-лму перцентилю.

Что нам нужно для нахождения квартилей?

Во-первых, нам надо определить медиану (подробнее о ней можно посмотреть в одной из наших предыдущих статей). Это второй квартиль. Затем находим медианы обеих получившихся половин. Таким образом получатся первый и третий квартили.

Возьмем уже знакомый нам график, отражающий рост людей в определенной группе, где по оси Х - все полученные варианты роста, а по оси У - количество людей с тем или иным значением роста. Размер выборки составляет 44 человека.

Медианой должен стать показатель, слева и справа от которого располагается по 22 человека. Данному критерию соответствует рост 175см.

Далее — делим пополам получившиеся половины. Теперь нам надо отложить на график уже 11 человек на один квартиль. Отсечкой первого квартиля будет рост 165см, для третьего – 185см.

Зачем нам все это?

• Во-первых, так же как и медиана, квартили показывают, какая доля из совокупности соответствует тому или иному диапазону показателей.

На примере с ростом мы можем понять, что по 25% людей в выборке ниже 165 см или выше 185 см. Либо, зайдя с другой стороны, утверждать, что 50% из выборки соответствуют росту от 165 до 185 см. Это значит, что при помощи квартилей мы можем с некоторой степенью допущения охарактеризовать как центральную тенденцию, так и меру изменчивости выборки. Повторимся, для этих целей не обязательно использовать квартили. Например, в качестве условных границ нормы лабораторных показателей принято использовать 5-й и 95-й процентили.

• Во-вторых, мы можем охарактеризовать симметричность распределения исходя из положения первого и третьего квартилей относительно второго (медианы). В нашем случае размах между первым и вторым и размах между вторым и третьим равны (по 10 см в ту и другую стороны), а значит распределение симметрично.
• В-третьих, понятие квартилей важно при визуальном отображении характеристик выборки, а именно при построении так называемого box plot (он же ящик с усами). Этот пример визуализации данных очень популярен и часто используется в различных статьях.

Пример box plot:

Центром ящика является медиана (для нас 175 см). Краями ящика являются 1-й и 3-й квартили (165 и 185 см). Усами ящика принято брать по 1,5 межквартильных размаха (МР) в каждую сторону.

Напомним, что межквартильный размах составляет разницу между третьим и первым квартилем и для нас равен 20 см. Полтора межквартильных размаха - 30 см.

Все, что выходит за границы полутора межквартильных размахов является выбросом. В нашем случае границами усов должны быть 135 и 215 см. Учитывая, что данных значений в нашей выборке нет, границами усов будут просто минимальное и максимальное значение. Пугаться этого не стоит. Зачастую исследователями box plot сознательно рисуется без использования 1,5 МР, а просто с крайними значениями выборки.

Как оценивать box plot?

Для начала — смотрим на ширину ящика. Она отражает вариативность 50% показателей исследуемого признака.

Длина же усов показывает весь разброс показателей в выборке и наличие выбросов. Сам по себе box plot не дает каких-то выводов, но очень удобен для сравнения нескольких совокупностей, так как отображает за раз множество характеристик выборки (медиану, нижний и верхний квартили, минимальное и максимальное значение выборки и выбросы), а также дает представление о плотности и асимметрии распределения.

В связи с этим его очень часто применяют в мета-анализах для сравнения результатов нескольких исследований и поиска различий между ними.

Итоги

• Квантили - это такие значения признака, которые делят упорядоченные данные на некоторое число равных частей.
• Квартили – это разновидность квантилей наряду с перцентилями, децилями, медианой и т.д. Квартили делят совокупность на 4 равные по количеству значений группы.
• Квартили позволяют оценить с некоторой степенью допущения как центральную тенденцию, так и меру изменчивости выборки, а также симметричность распределения.
• Ящик с усами (box plot) — график, использующийся в описательной статистике, отображает медиану, нижний и верхний квартили, минимальное и максимальное значение выборки и выбросы, а еще — плотность и симметричность распределения. Несколько таких ящиков можно нарисовать бок о бок, чтобы визуально сравнивать одно распределение с другим.